세트 모음에 대한 램지의 정리

분산 알고리즘에 대한 하한을 증명하는 다른 기술을 탐색하는 동안 다음과 같은 Ramsey 정리의 변형이 적용 될 수 있습니다.

매개 변수 : , K , n 이 주어진 다음 N 이 충분히 크게 선택됩니다. 용어 : m- 서브 세트는 m 크기의 서브 세트입니다 .$k$$K$$n$$N$$m$$m$

• 하자 . . . , N } .$A = \{1,2,...,N\}$
• 하자 모든 구성 유전율 의 -subsets .$B$$k$$A$
• 하자 모든 구성 K의 의 -subsets B .$C$$K$$B$
• 착색 할당 의 C를 .$f\colon C \to \{0,1\}$$C$

이제합니다 (하이퍼 그래프 버전) 램지의 정리는 우리가 선택한 방법에 상관없이 말한다 하는이 단색 N -subset B ' 의 B : 모든 K가 의 -subsets B ' 같은 색상을 가지고있다.$f$ $n$$B'$$B$$K$$B'$

나는 한 걸음 더 나아가 가서 단색 찾고자하는 -subset ' 의 을 다음과 같은 경우 B ' ⊂ B는 모든 구성 케이 의 -subsets ' , 모든 K가 의 -subsets B ' 같은 색상을 가지고있다.$n$$A'$$A$$B' \subset B$$k$$A'$$K$$B'$

이것이 사실인가 거짓인가? 이름이 있습니까? 당신은 어떤 참조를 알고 있습니까?

사소한 이유로 거짓 인 경우,이 주장과 유사한 약한 변형이 있습니까?

이 질문은 k, K가 1보다 큰 경우에만 사소한 것이 아니라는 것을 관찰했다. k = 1 또는 K = 1 인 경우, 이는 일반적인 Ramsey 정리 일 뿐이며 모든 n에 해당됩니다. 또한 우리는 > K, 그렇지 않은 경우 최대 1 개 (${n \choose k}$ -A의 n- 서브 세트 A '에 의해 구성된 B'의 서브 세트.${n \choose k}$

먼저 모든 k> 1, K> 1에 대한 정리가 거짓임을 증명하고 n은 > K>(n−${n \choose k}$.$({n-1 \atop k})$

큰 N 및 A = [N]에 대해 반례를 구성하기 위해, B '가 A'의 모든 k- 서브 세트로 구성된 경우 A의 모든 n- 서브 세트 A '에 대해 채색 함수 f를 구성해야합니다. B '의 K- 서브셋 중 일부는 다른 색상을 갖는다. 여기에 다음과 같은 관찰이 있습니다.

관찰 1. k, K> 1 및 > K>(n−${n \choose k}$, B의 임의의 K- 서브 세트는 A의 n- 서브 세트 A '에 의해 구성된 최대 하나의 B'에 대한 서브 세트이다.$({n-1 \atop k})$

$({|B'| \atop K})$${n \choose k}$${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$$({n-1 \atop k})$

그런 다음 n-subset A '로 구성된 특정 B'의 K-subsets C '내에서 다른 색상을 지정할 수 있습니다 .C'의 어떤 요소도 n-subset으로 구성된 B ''의 다른 K-subset으로 발생하지 않기 때문입니다. ㅏ''. A의 n-subset으로 구성되지 않은 B의 K-subset에 대해서는 임의의 색상을 할당합니다. 이제 우리는 채색 함수 f를 가지게되는데, A의 n- 서브셋으로 구성된 B '가 단색이 아니라, 즉 B'의 K- 서브셋 중 일부는 다른 색상을 갖습니다.

${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

관찰 2. A의 n- 서브 세트 A '에 의해 구성된 일부 B'가 단색 인 경우, n '<n에 대해 A'의 n'- 서브 세트 A ''에 의해 구성된 모든 B ''는 또한 단색이다.

$({n' \atop k})$$({n'-1 \atop k})$$({n \atop k})$$({k \atop k})$