왜 정수 대신 자연이 필요한가?

프로그래밍 언어 이론 및 유형 이론 (예 : J. Mitchell, 프로그래밍 언어의 기초 및 B. Pierce, 유형 및 프로그래밍 언어)에 관한 저술가들이 왜 자연수를 좋아하는지 관심이 있습니다. 단순 유형 람다 미적분학, 특히 PCF 프로그래밍 언어에 대한 설명은 일반적으로 Nat와 Bool을 기반으로합니다. 범용 산업용 PL을 사용하고 가르치는 사람들에게 자연 대신 정수를 다루는 것이 훨씬 더 자연 스럽다. PL 이론가가 nat를 선호하는 몇 가지 이유를 언급 할 수 있습니까? 그 외에도 조금 덜 복잡합니다. 근본적인 이유가 있습니까? 아니면 전통을 존중하는 것입니까?

UPD 자연의 “기초”에 대한 모든 의견들 : 나는 그 멋진 것들에 대해 잘 알고 있지만, PL 이론의 유형 이론에서 그러한 속성들을 갖는 것이 정말로 중요한 경우의 예를보고 싶어합니다. 예를 들어 널리 언급 된 유도. 기본 1 차 논리와 같이 어떤 종류의 논리 (간단히 LC를 입력 함)가있는 경우 유도 유도를 사용하지만 유도 트리 (람다로도 포함)에 유도를 사용합니다.

내 질문은 기본적으로 프로그래밍 언어에 대한 몇 가지 기본 이론을 얻고 자하는 산업계 사람들로부터 나옵니다. 그들은 자신의 프로그램에 정수를 가지고 있었지만 공부하고있는 이론 (우리의 경우에는 유형 이론)에 대한 구체적인 논증과 적용없이 nat 만 사용하여 언어를 공부하는 이유에 대해 꽤 실망했습니다.

짧은 대답 : 자연은 첫 번째 한계 서수입니다. 그러므로 그들은 공리 론적 집합 이론 (예를 들어, 무한의 공리가 존재한다고 주장한다)과 논리에서 중심적인 역할을하며, PL 이론가들은 논리 학자들과 근본적인 선입견을 공유하는 경향이있다. 우리는 전체 정확성, 종료 및 유사한 특성을 증명하기 위해 유도 원리에 접근하기를 원하며 자연계는 자연스럽게 잘 정돈 된 선택입니다.

그러나 유한 너비 이진 정수가 덜 멋진 객체라는 것을 암시하고 싶지 않습니다. 그것들은 p-adics를 나타내며, 숫자 이론과 조합론에서 power series 방법을 사용할 수있게합니다. 이것은 PL보다 알고리즘에서 그 중요성이 더 눈에 띄게된다는 것을 의미합니다. 왜냐하면 우리가 종료보다는 복잡성에 대해 더 많은 관심을 가지기 때문입니다.

Naturals는 정수보다 훨씬 더 근본적인 개념입니다.

자연에 대해 유도가 발생하며 정수는 단항 역 연산자를 추가하여 자연에서 추출 할 수 있습니다.

나는 왜 초기 프로그래밍 언어 (및 레지스터 머신) 설계자들이 정수를 기본 데이터 타입으로 부수 화하여 자연에서 쉽게 파생 할 수 있었을까요?

정수를 우아하게 처리 할 수있는 멋진 바이너리 인코딩이 있었기 때문이라고 생각합니다. ;-)

프로그래밍 방식 정수의 음수 범위를 무시하려는 빈도를 생각하고 손실 된 비트를 복구하기 위해 부호없는 정수 유형을 갖는 임펄스를 고려하십시오.

$\mathbb{N}$$\mathbb{Z}$

$\mathbb{N}$$\leq$$\mathbb{Z}$

또 다른 이유는 (이미 주어진 것들과 관련이 있지만,이 답변은 새로운 정보를 추가합니다) 자연에 대한 매우 간단하고 몫이없는 구성이 있다는 것입니다. . 확장되지 않은 것은 몫이없는 정수 구성을 만드는 것이 얼마나 어려운지 입니다.

높은 보증을 원하는 곳에서 더 많은 프로그래밍을할수록 자연이 더 필요하고 정수가 미리 정의되어있어서 정말 고통 스럽습니다.

PL 이론가들이 정수 대신 자연을 선호하는 좋은 이유가 있습니까? 프로그래밍 언어 의미론에 대한 교과서에는 몇 가지가 있지만 필요한 기술적 인 이유는 없다고 생각합니다. PL 이론에서 데이터 유도가 중요한 종속 유형 시스템 이외의 다른 곳은 생각할 수 없습니다. Mike Gordon , David Schmidt , Bob Tennent 및 John Reynolds의 다른 교과서는 그렇지 않습니다. (그리고이 책들은 아마도 범용 산업용 PL에 관심이있는 사람들을 가르치는 데 훨씬 적합 할 것입니다!)

따라서 거기에는 필요 하지 않다는 증거가 있습니다 . 사실, 좋은 PL 이론 교과서 는 프로그래밍 언어의 기본 유형에서 파라 메트릭 이어야한다고 주장 할 것입니다 .

내추럴과 부울 및 그에 대한 작업은 소위 교회 숫자 (및 교회 부스라고도 함)와 같이 간단한 람다 미적분학으로 간단하게 인코딩 할 수 있습니다. 분명히 수행 할 수는 있지만 어떻게 정수를 잘 인코딩할지는 명확하지 않습니다.