열대 세미 링에 대한 다항식의 VC 치수는?

$\mathbf{BPP}$ $\mathbf{P}$ $\mathrm{poly}$ $(\max,+)$ $(\min,+)$

반반 지로 하자 . 제로 패턴 시퀀스 의 다항식 인 집합 있는 존재 및 에서 모든 에 대해 iff 입니다. 즉, 갖는 정확하게 다항식 의 그래프는 의 포인트 도달해야합니다 . 조건 는 으로 대체 될 수 있으므로 "영점 패턴" 입니다. $R$ $(f_1,\ldots,f_m)$ $m$ $R[x_1,\ldots,x_n]$ $S\subseteq \{1,\ldots,m\}$ $x\in R^n$ $y\in R$ $i=1,\ldots,m$ $f_i(x)= y$ $i\in S$ $f_i$ $i\in S$ $(x,y)\in R^{n+1}$ $f_i(x)=y$ $f_i(x)-y=0$ $Z(m)$ = 최대 의 다항식 시퀀스의 최대 가능한 제로 패턴 수 . 따라서 입니다. Vapnik-Chervonenkis 치수 정도의 다항식이다 . $m$ $d$ $0\leq Z(m)\leq 2^m$ $d$ $VC(n,d) := \max\{m\colon Z(m)=2^m\}$

비고 : 일반적으로 VC 차원은 집합의 패밀리에 대해 가장 큰 카디널리티세트의 되도록 . 이 프레임에 맞게, 우리는 모든 쌍에 연결할 수있는 세트 모든 다항식 정도 있는 보유합니다. 그런 다음 이러한 모든 세트 패밀리의 VC 치수 는 정확히 입니다. ${\cal F}$ $|S|$ $S$ $\{F\cap S\colon F\in{\cal F}\}=2^S$ $(x,y)\in R^{n+1}$ $F_{x,y}$ $f$ $\leq d$ $f(x)=y$ ${\cal F}$ $F_{x,y}$ $VC(n,d)$

의 사소한 상한 은(우리는 가능한 모든 패턴 을 갖기 위해서는 적어도 개의 고유 벡터 이 필요 하다), 무한 반구에서는 쓸모가 없다. VC 차원에서 좋은 상한을 갖기 위해서는 에서 좋은 상한이 필요합니다 . 필드 위에는 이러한 경계가 알려져 있습니다. $m=VC(n,d)$ $m\leq n\log |R|$ $2^m$ $x\in R^n$ $2^m$ $Z(m)$

정리 1 : 모든 필드 $R$ 에 대해 있습니다. $Z(m)\leq \binom{md+n}{n}$

Milnor , Heintz 및 Warren도 비슷한 상한선을 입증했다 . 그들의 증명은 실제 대수 기하학의 무거운 기술을 사용합니다. 반대로 Ronyai, Babai 및 Ganapathy (아래에서 제공)에 의한 정리 1의 반쪽 증거 는 선형 대수의 간단한 적용입니다.

작은 만족하는 을 가 모든 필드 를 한다는 것을 알 수 있습니다 . 대 / 비추어 볼 때 여기서 중요한 것은 차원이 정도만 로그 라는 점 입니다. 다항식 크기의 회로가 지수도의 다항식을 계산할 수 있고 PAC 학습의 Haussler 결과 ( 이 백서의 114 페이지 2 항 )는 다음을 산출하기 때문에 중요합니다 (결정적 회로가 과반수의 투표를 사용할 수 있다고 가정합니다) 그들의 값을 출력하기 위해). $m$ $\binom{md+n}{n} < 2^m$ $VC(n,d)=O(n\log d)$ $\mathbf{BPP}$ $\mathbf{P}$ $\mathrm{poly}$ $d$

정리 2 : 는 반올림 대한 회로를 보유합니다 . 여기서 는 및 만 다항식입니다 . $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$ $R$ $VC(n,d)$ $n$ $\log d$

Haussler의 결과가 정리 2에 미치는 영향에 대해서는 여기 를 참조 하십시오 .

특히 정리 1에서는 이 모든 필드를 보유합니다. (재미있는 것은 단지 무한한 분야 의 경우입니다. 유한 한 분야 의 경우 훨씬 더 간단한 주장이 효과가 있습니다. Chernoff는 그 다음에 효과가 있습니다.) 그러나 필드 가 아니 거나 고리 가 아닌 (무한한) 반고리는 어떻습니까? 동적 프로그래밍에 의해 동기를 부여 받았을 때 주로 열대 및 반고리에 관심이 있지만 다른 "비 필드"(무한) 반고리도 흥미 롭습니다. , 그 위에 주 , 다항식 semiring 와 과 $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$ $(\max,+)$ $(\min,+)$ $(\max,+)$ $f(x)=\sum_{a\in A} c_a\prod_{i=1}^n x_i^{a_i}$ $A\subseteq\mathbb{N}$ $c_a\in \mathbb{R}$ 에서 최대화 문제로 바뀝니다. ; 의 정도 는 (관습 적으로) 모든 대한 최대 입니다. $f(x)=\max_{a\in A}\ \{c_a+a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\}$ $f$ $a_1+\cdots+a_n$ $a\in A$

질문 : 정도의 VC 치수입니다 다항식 열대 semirings이 다항식을 통해 ? $\leq d$ $n\log d$

나는 이것이 빠른 답변을 기대하기에는 다소 어려운 질문 일 수 있음을 인정한다. 열대 대수학은 "미친"것이다. 그러나 누군가 열대 다항식이 왜 실제 다항식보다 더 많은 제로 패턴을 생성 할 수 있는지에 대한 아이디어가있을 수 있습니다. 아니면 왜 "하지 말아야합니까?" 또는 일부 관련 참조.

아니면 Babai, Ronyai 및 Ganapathy (아래)의 증거가 어떻게 열대 세미 링에서 작동하기 위해 "꼬인"것일 수 있습니까? 또는 다른 무한 반원 (필드가 아닌) 위에?

정리 1의 증명 : 시퀀스한다고 가정 갖는 다른 제로 패턴 및하자 이 제로 패턴을 증인. 하자 의해 목격 제로 패턴 일 번째 벡터 및 다항식 고려 . 우리는 이러한 다항식이 우리 분야에서 선형 적으로 독립적이라고 주장합니다. 이 주장 은 각 가 최대 정도이며 최대 의 다항식 공간의 크기 는 이므로 정리 증명을 완료합니다 $(f_1,\ldots,f_m)$ $p$ $v_1,\ldots,v_p\in R^n$ $S_i=\{k\colon f_k(v_i)\neq 0\}$ $i$ $v_i$ $g_i:=\prod_{k\in S_i}f_k$ $g_i$ $D:=md$ $D$ $\binom{n+D}{D}$ . 클레임을 증명하기 위해 경우에만 점에 유의하십시오 . 반대로 사소한 선형 관계 이 존재한다고 가정합니다. 하자 그 같은 첨자 일가운데 최소한이다 와 . 관계에서 를 대체 하십시오. 동안 , 우리가 모두 , 모순. $g_i(v_j)\neq 0$ $S_i\subseteq S_j$ $\lambda_1 g_i(x)+\cdots+\lambda_p g_p(x)=0$ $j$ $|S_j|$ $S_i$ $\lambda_i\neq 0$ $v_j$ $\lambda_jg_j(v_j)\neq 0$ $\lambda_ig_i(v_j)=0$ $i\neq j$ $\Box$

— 스타 시스
소스

내 질문에 대한 대답은-그렇다는 것을 깨달았습니다. 열대 반원 에서 변수에 대한 차수 $\leq d$ 다항식 의 VC 치수는 최대 상수 시간 입니다. 위의 정리 1을 사용하여 표시 할 수 있습니다. 자세한 내용은 여기 를 참조 하십시오 . 따라서 BPP P / poly 는 열대 회로와 "순수한"동적 프로그래밍 알고리즘에도 적용됩니다. $n$ $n^2\log(n+d)$ $\subseteq$

NB (2019 년 6 월 25 일 추가됨) 그 동안 이 백서 에서 문제를 완전히 해결했습니다 . 처음에는 꿈도 꾸지 않았던 일반성. 열대 사례는 매우 특별한 사례입니다. 더 흥미롭게도 다른 저자들의 이미 알고있는 (어떤면에서도 깊은) 결과의 적절한 조합만으로도 가능합니다.

이 방향 (BPP vs. P / poly)에서 무엇을해야합니까? 결정적인 회로의 크기를 줄이는 것 외에도 흥미로운 질문입니다.

— 스타 시스
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