로그 공간에서 경계 너비 SAT를 결정할 수 있습니까?

Elberfeld, Jakoby 및 Tantau 2010 ( ECCC TR10-062 )은 공간 효율적인 버전의 Bodlaender 정리를 증명했습니다. 그들은 가 최대 트리 폭인 그래프의 경우 로그 공간을 사용하여 폭 k 의 트리 분해를 찾을 수 있음을 보여주었습니다 . 공간 제한의 상수 계수는 k에 따라 다릅니다 . (Bodlaender의 정리는 상수 인자 에서 k 에 지수 의존적으로 선형 시간 제한을 보여줍니다 .)$k$$k$$k$$k$

절 세트의 너비가 작 으면 SAT가 쉬워집니다. 즉, 피셔 Makowsky 및 Ravve 2008 경계로 입사 그래프 treewidth와 CNF 수식의 satisfiability 보였다 최대로 결정할 수있다 (2) O ( K ) N 트리 분해가 주어질 때 연산. Bodlaender의 정리에 의해, 고정 k 에 대한 입사 그래프의 트리 분해 계산은 선형 시간으로 수행 될 수 있으므로, 변수 수 n 에서 낮은 다항식 인 제한된 트리 폭 공식에 대해 SAT가 결정될 수있다 .$k$$2^{O(k)} n$$k$$n$

그러면 입사 그래프의 트리 폭이 제한된 수식의 경우 대수 공간을 사용하여 SAT를 실제로 결정할 수 있어야합니다. Fischer 등을 수정하는 방법은 명확하지 않습니다. SAT를 공간 효율적인 것으로 결정하는 방법. 이 알고리즘은 포함 제외를 통해 솔루션 수에 대한 표현식을 계산하고 더 작은 공식의 솔루션 수를 재귀 적으로 평가하여 작동합니다. 경계 트리 폭이 도움이되지만 하위 수식은 로그 공간에서 계산하기에는 너무 큰 것 같습니다.

이것은 나에게 묻는다.

경계 트리 폭 공식에 대한 SAT는 또는 N L로 알려져 있습니까?$\mathsf{L}$$\mathsf{NL}$

실제로 Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010의 결과를 사용하면 발생률 그래프가 트리 폭에 경계를 둔 수식의 로그 공간에서 SAT를 결정할 수 있음을 알 수 있습니다. 이 주장의 증거의 주요 단계가 어떻게 진행되는지에 대한 스케치입니다.

1. 트리 분해 및 트리 폭의 개념은 임의의 관계형 구조로 일반화 될 수 있습니다. 예를 들어 Dalmau, Kolaitis 및 Vardi 의이 백서 의 섹션 2와 3을 참조하십시오 .
2. Courcelle의 정리에 따르면 MSO 논리는 일정한 트리 폭의 관계형 구조에서 선형 시간으로 결정될 수 있다고합니다.
3. $t$$f(t)\cdot n$
4. $\tau$$F$$I$$\tau$$I$
5. $\tau$
6. 그러므로, Bodlander + Courcelle의 정리에 의해, 일정한 트리 폭의 공식이 선형 시간에 만족할 수 있는지 여부를 결정할 수 있습니다.
7. Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010은 "선형 시간"이 Bodlaender와 Courcelle의 정리에서 "로그 공간"으로 대체 될 수 있음을 보여줍니다.
8. $\varphi$$\tau$$\tau$$\varphi$
9. 특히, SAT는 일정한 트리 폭의 그래프에 대한 로그 스페이스에서 결정될 수 있습니다.