다항식 크기를 갖는 루팅 된 트리에서 "짧은"경로 수의 하한

하자 뿌리 이진 트리합니다. T 의 루트 에서 잎 까지의 모든 경로의 길이는 n 입니다. T의 모든 노드 에는 항상 왼쪽 및 오른쪽 자식 노드가 있지만 동일 할 수 있습니다 (따라서 항상 2 개의 n 경로가 가능함). 크기 T는 에 의해 제한되는 O ( P O L의 Y ( N ) ) . 다른 자식 노드가있는 노드를 분기 노드 라고 합니다 .$T$$T$$n$$T$$2^n$$T$$O(poly(n))$

하나의 공유 분기 노드가 있고 하나의 경로가 왼쪽 자식 노드로 이동하고 다른 경로가 오른쪽 자식 노드로 이동하는 경우 두 경로가 다릅니다. 적어도 하나 개의 경로가 분명하다 와 O ( 로그 N ) 노드를 분기가. 그렇지 않으면 T에 너무 많은 노드가 있습니다 .$T$$O(\log n)$$T$

트리에 ω ( log n ) 분기 노드 가 있다는 것을 알면 분기 노드 가있는 경로 수에 대한 더 낮은 하한 이 있습니까?$O(\log n)$$\omega(\log n)$

$\Omega(\log n)$$O(\log n)$$\Omega(\log n)$

$n$

여기에 하한 스케치가 있습니다.

$< n^c$$< n^c$

$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$

$d(v)$$\Sigma_{v \mathrm{\ leaf}} 2^{-d(v)} = 1$

$n^c$$O(\log n)$$\log_2(n^{c+1}) = (c+1) \log_2 n$$1/n$$v$$d(v)\leq (c+1) \log_2 n$$\sum_{v\mathrm{\ low \ depth \ leaf}} 2^{-d(v)} > 1-\frac{1}{n}$$\sum_{v\mathrm{\ low\ depth\ leaf}} 2^{-d(v)} < 1$

$2^{-k}$$1$$1-\frac{1}{n}$$\log_2 n$$\Omega(\log n)$$O(\log n)$