PSPACE를 다항식 계층 구조와 분리하는 최소 복잡성 오라클은 무엇입니까?

배경

오라클 가있는 것으로 알려져 있습니다$A$ 예컨대, 그$PSPACE^A \neq PH^A$ .

임의의 오라클에 대해 분리가 유지되는 것으로 알려져있다. 비공식적으로, 이것은 $PSPACE$ 와 $PH$ 가 분리 된 많은 오라클이 있음을 의미하는 것으로 해석 할 수 있다.

질문

이 오라클은 $PSPACE$ 와 P H 를 분리하는 것이 얼마나 복잡합니까 $PH$? 특히 오라클 $A \in DTIME(2^{2^{n}})$ 가 $PSPACE^A \neq PH^A$ ?

우리는 오라클이 있습니까 $A$ 되도록 $PSPACE^A \neq PH^A$ 및이 $A$ 공지 복잡성 상한 하였는가?

참고 : 이러한 오라클의 존재는 구조적 복잡성 이론에 영향을 줄 수 있습니다. 자세한 내용은 아래 업데이트를 참조하십시오.

하한 기술에 대한 세부 사항으로 업데이트

제 : 만약 $PSPACE = PH$ , 모든 계시 용 ∈ P / P ㅇ L의 Y , P S P C E = P H .$A \in P/poly$$PSPACE^A = PH^A$

프루프 스케치 : P S P A C E = P H 라고 가정합니다 $PSPACE = PH$.

오라클에게 $A \in P/poly$ 를 부여하십시오. 주어진 길이 n 에 대해 존재하는 정량화를 사용하여 크기 p ( n ) 의 회로를 추측하고 회로의 평가와 쿼리 결과를 비교하여 회로가 A 를 결정하는지 검증 하는 다항식 시간 $\Sigma_2$ oracle Turing machine $M$ 을 구축 할 수 있습니다. 범용 정량화를 사용하여 모든 길이 n 문자열에 대해.$n$$p(n)$$A$$n$

또한 정량화 된 부울 회로가 제공되고 그것이 유효한지 (QBF와 유사) 알고 싶은 QBC (Quantized Boolean Circuit)라고하는 결정 문제를 고려하십시오. QBF가 PSPACE- 완료되었으므로이 문제는 PSPACE- 완료입니다.

가정하면, QBC ∈ P H를 따릅니다 . 어떤 k에 대해 Q B C ∈ Σ k 가 충분히 크다고 가정 해 봅시다 . 하자 N은 다항식 시간을 나타낸다 Σ K 로 해결할 QBC 것을 튜링 기계.$\in PH$$QBC \in \Sigma_k$$k$$N$$\Sigma_k$

Q B C A 를 해결 하는 다항식 시간 Σ k oracle Turing machine 을 얻기 위해 M 과 N 의 계산 (Karp-Lipton 정리 증명에서 수행되는 것과 유사)을 혼합 할 수 있습니다 .$M$$N$$\Sigma_k$$QBC^A$

비공식적으로,이 새로운 머신은 오라클 QBC (오라클 게이트가있는 QBC)를 입력으로받습니다. 그런 다음 길이 n의 입력에서 A 를 계산하는 회로를 계산 합니다 (처음 두 수량자를 동시에 벗겨 냄). 다음으로, 오라클 QBC의 오라클 게이트를 A 의 회로로 교체합니다 . 마지막으로, 이 수정 된 인스턴스에서 Q B C 를 풀기 위해 나머지 다항식 시간 Σ k 알고리즘 을 적용합니다 .$A$$n$$A$$\Sigma_k$$QBC$

이제 조건부 하한을 표시 할 수 있습니다.

추론 : 오라클이 존재하지 않으면 ∈ N E X P 되도록 P S P C E ≠ P H 다음 N E X P ⊈ P / P ㅇ L 개의 Y가 .$A \in NEXP$$PSPACE^A \neq PH^A$$NEXP \nsubseteq P/poly$

프루프 스케치 : P S P A C E A ≠ P H A 와 같은 A ∈ N E X P 가 있다고 가정합니다 . 만약 N E X P ⊆ P / p o l y 라면 모순이 생길 것입니다.$A \in NEXP$$PSPACE^A \neq PH^A$$NEXP \subseteq P/poly$

특히, 만약 N E X P ⊆ P / P는 O를 패 Y , 다음 청구항에 의해 우리가 위에 P S P C E ≠ P H를 . 그러나, 알려져있다 N E X P ⊆ P가 / P O L 개의 Y가 함축 P S P C E = P H .$NEXP \subseteq P/poly$$PSPACE \neq PH$$NEXP \subseteq P/poly$$PSPACE = PH$

( P / poly의 알려진 결과에 대한 자세한 내용 은 여기 를 참조 하십시오 )

예를 들어, Ker-I Ko의 조사 섹션 4.1에서 주어진 논증을 추적 하면 D T I M E ( 2 2 O ( n 2 ) ) 의 상한을 얻게 됩니다. 실제로, 여기서 n 2 를 임의의 함수 n f ( n ) 로 대체 할 수 있습니다. 여기서 f ( n ) → ∞ as n → ∞ 입니다. 이것은 요구 된 것이 아니지만 가깝습니다.$\mathsf{DTIME}(2^{2^{O(n^2)}})$$n^2$$nf(n)$$f(n) \to \infty$$n \to \infty$

특히, 오라클 분리와 회로 하한 간의 변환을 사용하고 Ko의 표기법에 따라 다음과 같은 결과를 얻습니다.

• 우리는 길이의 문자열을 통해 대각 것이다 t ( N ) = P , N ( m ( N ) ) P N ( 여기서 x ) = X N + N "은"인 N (폴리 시간 알고리즘의 일부 열거) 번째 다항식을 m ( n ) 이 아래에 지정됩니다.$t(n) = p_n(m(n))$$p_n(x) = x^n + n$$n$$m(n)$

• 회로 하한으로 변환하면 2 t ( n ) 입력 에 대한 경계 깊이 회로를 고려하고 있음을 의미 합니다.$2^{t(n)}$

• 요구 사항 (Ko의 15 페이지 참조) 우리는 1 을 충족시키기 위해 m ( n ) 이 필요합니다.$m(n)$모든n에대해 10 2m/(d-1)>dpn(m(n)). 여기서d는 대각선 화하려는 회로의 깊이 또는대각선 화하려는PH의 레벨Σ p d 입니다. 모든에 대해 대각선 화하기 위해PH, 단순히 선택할D를하는 기능으로N이다ω(1); 우리는 그런d를선택할 수 있습니다$\frac{1}{10} 2^{m/(d-1)} > d p_n(m(n))$$n$$d$$\mathsf{\Sigma_d^p}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{PH}$$d$$n$$\omega(1)$$d$그래도 임의로 느리게 커집니다 (아마도 d ( n ) 에 대한 계산 가능성 가정이 적용 되지만 장애물이 아니어야합니다). d ( n ) 이 일정 하다고 추측하면 ( 이것은 아니지만, 임의로 느리게 성장할 것입니다), 약 2 n의 m ( n ) 이 작동한다는 것을 알 수 있습니다.$d(n)$$d(n)$$m(n)$$2^n$

• 이것은 t ( n ) ~ 2 n 2 를 의미하므로 ~ 2 2 n 2 입력을 갖는 회로에 대한 하한을 찾고 있습니다.$t(n) \sim 2^{n^2}$$\sim 2^{2^{n^2}}$

• Trevisan and Xue (CCC '13)는 N 입력 의 주어진 경계 깊이 회로 가 p o l y l o g ( N ) 길이 의 시드를 갖는 PARITY를 계산하지 않는 할당을 찾을 수 있음을 보여주었습니다 .$N$$polylog(N)$

• 우리에게 N = 2 2 n 2 이므로 p o l y l o g ( N ) = 2 O ( n 2 ) 입니다. 우리는 2 2 O ( n 2 ) 시간 안에 그러한 씨앗에 힘을 가할 수 있고 작동하는 첫 번째 씨앗을 사용할 수 있습니다.$N=2^{2^{n^2}}$$polylog(N) = 2^{O(n^2)}$$2^{2^{O(n^2)}}$

n 2 를 n f ( n )로 바꾸려면 대신 p n ( x ) = x f ( n ) + f ( n )로 두십시오 .$n^2$$nf(n)$$p_n(x) = x^{f(n)} + f(n)$

흥미롭게도, 내가 올바르게 이해하고 있다면 이것이 Trevisan-Xue를 향상시킬 수 있다고 생각합니다 ...

• ... A를 pseudodeterministic / 벨라지오 알고리즘 (아래 앤드류 모건의 설명을 참조), 하나 얻을 것이라고 B P E X P ⊈ P / P 오 리터의 Y ; 또는$\mathsf{BPEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

• ... p o l y l o g ( N ) 비트 를 추측 한 다음 p o l y ( N ) 시간에 실행 된 비결정론 적 알고리즘 으로, 허용되는 경로에서 동일한 출력을 생성하도록 ( cf. N P S V ), 그것은 N E X P ⊈ P / p o l y를 의미 할 것이다 ; 또는$polylog(N)$$poly(N)$$\mathsf{NPSV}$$\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

• ... 결정 론적 알고리즘으로, E X P ⊈ P / p o l y를 얻을 수 있습니다.$\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

한편으로, 이것은 전환 정리를 무분별하게하는 것이 왜 어려운지를 암시합니다-이전에 확실하지 않은 논쟁! 다른 한편으로, 이것은 경도 대 임의성에 대한 일종의 흥미로운 취재로 나를 공격합니다 (또는 이것이 실제로 새로운 것입니까? 오라클 대 임의성입니까?).