DFA 전환 전이 멤버십

완전한 DFA가 주어짐 $A=(Q, \Gamma, \delta, F)$ 함수 모음을 정의 할 수 있습니다 $f_a$ 각각 $a\in \Gamma$ 와 $f_a:Q\rightarrow Q$ , $f_a(q)=\delta(q, a)$ . 이 개념을 한 단어로 일반화 할 수 있습니다 $w=a_1, \cdots, a_m$ 과 $f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$ 어디 $\circ$ 기능 구성을 나타냅니다. 또한 우리는 $G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$ 과 $G$ monoid입니다.

[ $G$ 일반적으로 표준 교과서에서 전이 모노 이드 ( transition monoid) 라고 하지만 여기서는 명확성을 위해 정의를 재현합니다.]

문제는 기능이 주어진다는 것입니다 $f:Q\rightarrow Q$ , 우리는 결정할 수 있습니까 $f\in G$ (이상적으로 다항식 시간으로),이 경우 (즉, $w$ 그런 $f=f_w$ ), 여부 $w$ 다항식으로 만 길거나 기하 급수적으로 길 수 있습니까?

[실제로 그러한 단어는 기하 급수적으로 길 수 있다고 생각하지만 간단한 예를 찾고 있습니다.]

automata-theory regular-language monoid

— 마오 마오
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결정 가능성

결정할 수 있습니다. 가능한 많은 기능이 있습니다 $f:Q \to Q$ 함수 당 하나의 꼭지점과 모서리를 사용하여 그래프 도달 가능성 문제로 모델링 할 수 있습니다. $g \to h$ 존재하는 경우 $a \in \Gamma$ 그런 $h = f_a \circ g$ . 그런 다음 함수가 있는지 테스트 $g$ ~에있다 $G$ 테스트 여부를 줄입니다 $g$ 에서 그래프에 도달 할 수 있습니다. $f_\epsilon$ . 너비를 가장 먼저 사용하여 가장 짧은 단어를 찾을 수 있습니다. 러닝 타임은 $Q$ , 그러나.

단어의 길이

가장 짧은 단어는 기하 급수적으로 길 수 있습니다. 다음은 그러한 DFA의 예입니다. 허락하다 $p_1,\dots,p_k$ 첫 번째가되다 $k$ 소수. 그러면 상태는 형태가됩니다 $(i,x)$ 어디 $i \in \{1,\dots,k\}$ 과 $x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$ . 단항 알파벳으로 DFA 정의 $\Gamma=\{0\}$ 그리고 전환 기능 $\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$ . 함수 는 $f_0 :Q \to Q$

{에프}_{0} (나는, 엑스) = (나는, 엑스 + 1 모드 피_{나는}) .

$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$

이제 함수를 고려 에 의해 주어진을 $g:Q \to Q$

지 (나는, 엑스) = (나는, 엑스 - 1 모드 피_{나는}) .

$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$

중국의 나머지 정리를 사용하여 여기서 이며 은 가장 짧은 단어 임을 있습니다. 또한 이므로 은 기하 급수적으로 입니다. $g = f_{0^n}$ $n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$ $0^n$ $|Q|= p_1 + \dots + p_k$ $n$ $Q$

결과적으로, 그러한 단어를 출력하는 다항식 시간 알고리즘에 대한 희망은 없다. 그래도 가 있는지 여부를 결정하기위한 다항식 시간 알고리즘의 가능성은 여전히 열려 있습니다. $g$ $G$

— DW
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