각 요소가 적은 수의 빈에 있도록 이진 관계를 빈으로 분배

우리는 객체 쌍 (예 : 숫자)이 주어집니다. 각 객체는 최대 쌍으로 나타납니다 . 우리의 목표는 쌍을 같은 크기의 쓰레기통에 분배하여 각 물체가 가능한 적은 쓰레기통으로 발생하도록하는 것입니다. $q$

보다 구체적으로, 우리는 함수 관련 와 각 이진 릴레이션하는 속성 최대와 쌍 개체마다 쌍의 쌍의 분포가 빈들, 각 빈은 수신 (쌍 는 을 나눠야 하며 구간 이상에서는 객체가 발생하지 않습니다 . $f$ $m$ $q$ $p$ $m/p$ $p$ $m$ $f(m,q,p)$

이 질문은 병렬 쿼리 평가에 대한 연구에서 나타났습니다. 가 비해 이 클 것으로 예상합니다 . 의 "올바른"크기 는 덜 명확합니다. 대한 흥미로운 크기 는 다음과 같습니다. $m$ $p$ $q$ $q$ $\sqrt{\frac{m}{p}}$ . 에 의존하지 않는 함수 $q$ , 오직 특정 범위의 작동 $q$ 또한 유용 할 것이다 (그러나 $q=O(1)$ ).

실제로, 우리는 형식의 경계 뒤에 있으며 $p^{1-\epsilon}$ , $\epsilon>0$ 은 가능한 한 큰 것입니다 ...

combinatorics

— 토마스 S
소스

그래프 용어에서 : 정수

와

모서리가 있는 그래프

가 주어지고 각 꼭지점이 최대

갖는

하위 그래프

찾으십시오. 여기서

,되도록

, 그리고

p

$p$

G = (V, E)

$G=(V,E)$

m

$m$

q

$q$

p

$p$

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{p}

$G_1, G_2, \ldots, G_p$

G_{i} = (V_{i}, E_{i})

$G_i=(V_i, E_i)$

V = ⋃_{i} V_{i}

$V=\bigcup_i V_i$

{E_{i}}_{i}

$\{E_i\}_i$ 의 파티션

로

크기의 각 부품

, 각 정점

최대로 발생

그래프의

. 당신의 목표는

를 최소화하는 것입니다 . 주어진

및

가 표시 할 수있는

상한은 무엇입니까 ?

E

$E$

p

$p$

m / p

$m/p$

v \in V

$v\in V$

k

$k$

(max_{v} | {i : v \in V_{i}} | \leq k)

$(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$

k

$k$

k

$k$

m

$m$

p

$p$

q

$q$

— 닐 영

맞습니다. 그래프의 관점에서. 질문에 대한 답은

입니다. 실제로 위에서 언급 한 바와 같이, 우리는

형식의 경계에 관심이 있으며

대한 경계는 없습니다 .

p

$p$

p^{1 - ϵ}

$p^{1-\epsilon}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— Thomas S

시작하는 특별한 경우 :

홀수로 하자 . 하나의 파티션을

n \geq 1

$n \ge 1$

완전한 그래프의 에지에서브 세트 크기각 정점에 대해, 그 정점 가장자리 입사 포함 부분 집합의 개수가되도록, 일부? 나는 어떤을 위해 예를 내기걸릴 ---크기의 임의의 정점 집합각을. 그런 다음 각 정점은정점 하위 집합의약에있을가능성이 높으며각 쌍은부분 집합의에 있습니다. 이제 페어를 서브셋에 할당합니다.

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$

K_{n}

$K_n$

n

$n$

(n - 1) / 2

$(n-1)/2$

O (n^{1 - ϵ})

$O(n^{1-\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ < 1 / 2

$\epsilon<1/2$

n

$n$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

(i, j)

$(i,j)$

n^{1 - 2 ϵ}

$n^{1-2\epsilon}$

— Neal Young

이 경우, 먼저 노드를 크기의 세트 로 분배 할 수 있습니다 (간격 생각). 그런 다음 각 저장소는 두 세트 의 제품 를 얻습니다 (완전한 직접 그래프를 고려하고 있습니다. 상태는 더 쉬우 며 무의식적으로 크게 다르지 않습니다). 따라서 각 정점은 bin, 즉이 경우 에서 발생합니다.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

I \times J

$I\times J$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

ϵ = \frac{1}{2}

$\epsilon=\frac{1}{2}$

— Thomas S

스타 그래프 ( 한 정점 입사하는 가장자리 )의 경우 정점 은 각각의 하위 그래프에 있어야하므로이 경우 미만의 범위 는 불가능합니다. 나는 그것이 최대 정도 를 제한하는 이유라고 생각합니다 . 아마도 중요한 가정 인 것 같아서 그것에 대해 더 확실한 것을 말할 수있을 것입니다. 한편, 나는 아래의 답변으로 관찰 (응답이 아니라 너무 커서 의견에 맞지 않습니다!)을 남겼습니다.

n - 1

$n-1$

r

$r$

r

$r$

p

$p$

p

$p$

q

$q$

— 닐 영

이것은 답이 아닙니다. WLOG를 사용하면 정확히 같은 크기의 하위 집합 이 있어야한다는 요구 사항을 완화 하고 대신 크기 의 여러 하위 집합을 찾을 수 . 아마도 이것이 문제에 대해 생각하는 데 도움이 될 것입니다. $p$ $\{E_i\}_i$ $O(\textsf{the desired size})$

그래프 및 정수 . 하자 $G=(V,E)$ $p\ge 1$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

렘마 서브 그래프 존재한다고 가정 되도록 파티션 (임의의 수) 크기의 부분으로 . 하자 $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ $\{E'_j\}_j$ $E$ $O(s)$

M = max_{v \in V} | {j : v \in V_{j}^{'}} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$ 꼭지점이있는 최대 부품 수입니다.

그런 다음 서브 그래프 가 있습니다. 를 최대 크기의 정확히 부분 으로 분할합니다. 및 $p$ $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ $\{E_i\}_i$ $E$ $p$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

max_{v \in V} | {i : v \in V_{i}} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

증명. 시퀀스부터 각 부품 교체 부분에 포함 된 에지들 중 어느 시퀀스 순서로 순서를. 하자 결과 시퀀스 (순열의 수 이러한 각부 것을 일부 "간격"이다 $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ $E'_j$ $e_1, e_2, \ldots, e_m$ $E$ $E'_j$ 의 순서로 가장자리). 지금에이 순서 분할마지막 제외한 각의 크기가 갖도록 연속 서브 시퀀스, 그리고 수 있도록 에 가장자리를 포함일 연속 서브. (그래서 $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ $p$ $s$ $E_i$ $i$ 에 대한). $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ $i<p$

가정하여 각 파트 크기 갖는다 , 및 디자인하여 각 파트 마지막 부분을 제외한 크기를 갖는 때문에 (방식 때문에 정의) 어느 에지 주어진 파트 통해 분할 의 부분 . 이것과 각 정점이 부분에서 발생한다는 가정 $E'_j$ $O(s)$ $E_j$ $E_p$ $s$ $\{E_i\}_i$ $E'_j$ $O(1)$ $\{E_i\}_i$ $M$ , 각 정점이의 부품중 최대에서 발생 함을 의미합니다. QED $\{E'_j\}_j$ $O(M)$ $\{E_i\}_i$

— 닐 영
소스