P 시간에 계산 가능하지만 계산할 수없는 계산 가능한 초월 번호

알려진 계산 가능한 초월 번호가 있습니까? $n$자릿수는 다항식 시간으로 계산 가능하지만 $O(n)$?

이러한 숫자의 구성은 다음과 같습니다. 이 숫자가 "알려져 있음"을 의미하는지 여부를 논쟁 할 수 있습니다.

어떤 기능을 수행 $f$ ...에서 $\mathbb{N}$ 에 $\{ 1, 2, \ldots, 8 \}$ 어디 $n$'자리수는 계산할 수 없습니다 $O(n)$시각. 이러한 기능은 예를 들어 일반적인 대각 기술에 의해 존재한다. 새기다$f(n)$ 로 $n$일부 실수의 십진수 $\alpha$. 이제 각각에 대해$n$ 형태의 $2^{2^k}$, $k \geq 1$, 자릿수 변경 $\alpha$ 위치에 $n, n+1, \ldots, 3n$ 에 $0$'에스. 결과 숫자$\beta$ 분명히 그 속성을 유지 $n$'자리수는 계산할 수 없습니다 $O(n)$ 시간,하지만 합리적으로 무한히 많은 아주 좋은 근사치를 가지고있다 $O(q^{-3})$형식 $p/q$. 그런 다음 로스의 정리$\beta$대수적 일 수 없습니다. (그것은 임의로 긴 블록을 가지고 있기 때문에 합리적이지 않습니다.$0$양쪽에서 0이 아닌 값으로 시작됩니다.)

더 일반적으로 모든 상수에 대해 $k\ge1$, 다항식 시간에 계산 가능한 초월 숫자가 있지만 시간에 맞지 않음 $O(n^k)$.

먼저, 시간 계층 정리에 의해 언어가 존재합니다 $L_0\in\mathrm E$ 시간 내에 계산할 수없는 $O(2^{kn})$. 우리는 가정 할 수 있습니다$L\subseteq\{0,1\}^*$모든 문자열을 가정 할 수도 있습니다. $w\in L$ 길이를 나눌 수있다 $3$.

둘째, 보자 $L_1$ 단항 버전이다 $L_0$. 확실성, 어떤$w\in\{0,1\}^*$, 허락하다 $N(w)$ 이진 표현이 정수를 나타냅니다 $1w$그리고 넣어 $L_1=\{a^{N(w)}:w\in L_0\}$. 그때$L_1\in\mathrm P$하지만 $L_1$ 시간 내에 계산할 수 없다 $O(n^k)$. 게다가,$L_1$ 다음과 같은 속성이 있습니다. $m$, $L_1$ 포함하지 않습니다 $a^n$ 그런 $2^{3m+1}\le n<2^{3m+3}$.

셋째로

$$\alpha=\sum\{2^{-n}:a^n\in L_1\}.$$ (여기서는 이진수로 숫자를 계산하는 것에 대한 질문이라고 가정합니다. 그렇지 않은 경우 $2$ 위의 원하는 기지로 교체 할 수 있습니다, 그것은 중요하지 않습니다.)

그때 $\alpha$ 다항식 시간으로 계산할 수 있습니다. $n$ 여부를 확인하여 비트 $a,a^2,\dots,a^n$ ~에있다 $L_1$. 같은 이유로 시간 내에 계산할 수 없습니다$O(n^k)$으로 $n$비트는 다음을 결정합니다. $a^n\in L_1$.

어떠한 것도 $m$, 허락하다

$$p=\sum\{2^{2^{3m+1}-n}:n\in L_1,n<2^{3m+1}\}=\lfloor\alpha2^{2^{3m+1}}\rfloor,$$ 과 $q=2^{2^{3m+1}}$. 그때 $$\left|\alpha-\frac pq\right|\le2^{-2^{3m+3}}=q^{-4}.$$ 그러므로, $\alpha$ 적어도 비이성도 측정이있다 $4$그러므로 그것은 Roth의 정리에 의해 초월 적 이다 .