DSPACE (O (s (n)))의 시간 계층

시간 계층 정리에 따르면 튜링 기계는 시간이 충분하다면 더 많은 문제를 해결할 수 있다고합니다. 공간이 무증상으로 제한되는 경우 어떤 방식으로 유지됩니까? 어떻게 $\textrm{DTISP}(g(n), O(s(n)))$ 에 관한 $\textrm{DTISP}(f(n), O(s(n)))$ 의 경우 $\frac{f}{g}$ 는 충분히 빨리 자 랍니까?

I는, 특히 그 경우에 관심이 $s(n) = n$ , $g(n) = n^3$ 및 $f(n) = 2^n$ .

: 특히, I는 다음의 언어 간주 $L_k := \{ (\langle M \rangle, w) \; : \; \text{M rejects } (\langle M \rangle, w) \text{ using at most } |\langle M \rangle, w|^3 \text{ time steps},$ $k * |\langle M \rangle, w| \text{ cells and four different tape symbols} \}$

그러나 $L_k$ 는 ( k + 1 ) n ∈ O ( n ) 공간 을 사용하여 $n^3$ 단계 로 결정할 수 있습니다 .$(k+1)n \in O(n)$

$M$ 을 4 개의 테이프 기호로 제한하지 않고 $O(n)$ 셀을 $n$ 셀로 압축 하지 않으면 테이프 기호 가 너무 많은 $M$ 을 시뮬레이션 할 때 공간 문제가 발생합니다 . 이 경우 언어는 더 이상 $\text{DSPACE}(O(n))$ 없습니다. 충분히 빠르게 계산 될 수있는 일부 h에 대해 $k = h(|w|)$ 를 설정할 때도 마찬가지 입니다.$h$

이 질문은 기본적으로 여기 내 질문의 문구입니다 .

편집 요약 : 변경된 $\textrm{DSPACE}(s(n)) \cap \textrm{DTIME}(f(n))$ 에 $\textrm{DTISP}(f(n), s(n))$ 그러나, 나는 교차로도에 대해 생각하는 가치라고 생각합니다.

$\mathrm{DTISP}(O(n \log n),O(n)) = \mathrm{DSPACE}(O(n))$$\mathrm{NSPACE}(O(n))$$\mathrm{DTIME}(O(n))⊆\mathrm{DSPACE}(O(n/\log n))$

그러나 그럴듯한 계산 복잡성 추측에서 적절한 계층 구조가 있습니다. 예를 들어, 마다 CIRCUIT-SAT ∉ io- 이면 여기서 , 은 이며, 는 시공간 구성이 가능합니다.$ε>0$$O(2^{n-ε})$$\mathrm{DTISP}(O(f),O(s(n))) ⊊ \mathrm{DTISP}(O(f^{1+ε}),O(s(n)))$
$f(n)≥n$$f(n)$$2^{o(\min(n,s(n)))}$$f$

특히 (가설 하에서) 입력 및 크기 회로에 만족스러운 할당이 존재 합니다. 클래스의 평등에 대한 반례로.$⌊\mathrm{lg}(f^{1+ε/2})⌋$$(\log f)^{O(1)}$

노트:

• CIRCUIT-SAT는 적어도 -SAT (강한 지수 시간 가설에 사용됨) 만큼 어렵습니다 .$k$

• 규약에 따라 CIRCUIT-SAT에서 은 입력 와이어 수입니다. 회로 크기는 입니다.$n$$n^{O(1)}$

• 가정이 준 선형 회로 크기에 CIRCUIT-SAT를 사용한 경우 의 경계 를 로 완화 할 수 있습니다 . 또한 CIRCUIT-SAT의 경도에 대한 약한 / 강한 가정은 (현재 우리가 증명할 수있는) 약한 / 강한 계층을 제공합니다.$f(n)$$O((2-ε)^{\min(n,s(n))})$

• 입출력 수단은 무한히 종종 및 위해 제거 될 수 (포함한 어떤 의미에서 연속 ).$f$$f(n)=n^a$

• DTISP 계층 구조는 를 (및 아마도 ) 와 구별하기에 충분히 날카 로울 수 있습니다 ( 가 허용 된 공간에 비해 너무 크지 않은 경우 ).$O(f)$$o(f/\log f)$$o(f)$$f$

• 와 을 구별하기 위해서는 약한 가정 P ≠ PSPACE 만 필요합니다.$n^a$$2^n$