Norbert Blum의 2017은 정확 하다는 증거 입니까?

Norbert Blum은 최근 P - ne NP 라는 38 페이지의 증거 를 게시했습니다 . 맞습니까?$P \ne NP$

또한 주제 : 인터넷에서 그 정확성이 논의되는 곳은 어디입니까?

참고 :이 질문 텍스트의 초점은 시간이 지남에 따라 변경되었습니다. 자세한 내용은 질문 의견을 참조하십시오.

앞에서 언급했듯이 Tardos의 사례는 증거를 분명히 반박합니다. 모노톤 기능을 제공하는데, 이는 T0 및 T1의 CLIQUE와 일치하지만 P에 있습니다. 증명이이 경우에도 적용되므로 증명이 정확하면 불가능합니다. 그러나 실수를 정확히 찾아 낼 수 있습니까? 다음은 lipton의 블로그 게시물에서 증거가 실패하는 곳인 것 같습니다.

단일 오차 는 정리 6의 증거, 즉 31 페이지 1 단계 (이중 사례가 논의되는 33 단계)의 미묘한 점입니다. 포함 된 모든 해당 절이 포함되어 있다는 명백한 주장 등은 잘못된 것 같습니다. C N F ' ( g $C'_g$$CNF'(g)$

이를 더 자세히 설명하려면 Berg와 Ulfberg의 증명 및 근사 방법으로 이동해야합니다.이 방법은 DNF / CNF 스위치의 관점에서 CLIQUE에 대한 지수 모노톤 복잡성에 대한 Razborov의 원래 증거를 재 지정합니다. 이것이 내가 보는 방법입니다.

논리 회로 (이진 OR / AND 게이트 만 포함)의 모든 노드 / 게이트 에 대해 결합 정규형 , 분리 정규형 및 및 는 다음 과 같습니다. 붙여진. 와 는 단순히 게이트 출력의 대응하는 결정적이고 결합 된 정상 형태입니다. 및 는 또한 적인 형태이지만 다른 기능으로는 게이트 출력을 "근사"합니다. 그러나 그들은 에 대해 각각의 monomial에 제한된 수의 변수를β C N F ( g ) D N F ( g ) C의 K g의 D , R의 g의 C N F D N F D의 R g의 C 케이 g D의 R의 g의 C K $g$$\beta$$CNF(g)$$DNF(g)$$C^k_g$$D^r_g$$CNF$$DNF$$D^r_g$$C^k_g$$D^r_g$(상수 r 미만) 및 대한 각 절에서 (상수 k 미만).$C^k_g$

이 근사와 함께 도입 된 "오류"개념이 있습니다. 이 오류는 어떻게 계산됩니까? 우리는 총 함수가 값 0을 취하는 입력의 일부 T0와 총 함수가 값 1을 갖는 입력의 T1 ( "약속")에만 관심이 있습니다. 이제 각각의 게이트에, 우리는 정확하게 계산 T0 및 T1에서 해당 입력, 볼 (모두 와 와 동일한 기능을 나타내고, - 게이트의 출력 에서 ), 게이트 출력에서 및 대한 오류 / 오류 수를C N F ( g ) $DNF(g)$$CNF(g)$$g$C의 K g의 D , R의 g C의 K g의 D , R의 g C의 K g의 C 케이 g D의 R의 $\beta$$C^k_g$$D^r_g$그와 비교하여. 게이트가 결합 된 경우 게이트 출력은 T0에서 더 많은 입력을 정확하게 계산할 수 있습니다 (그러나 T1에서 올바르게 계산 된 입력은 감소 될 수 있음). 들면 단순한 결합으로 정의된다, 그러나이 모든 입력에 새로운 오류가 없다. 이제 는 의 CNF / DNF 스위치로 정의 스위치 에서 오는 T0에 여러 가지 새로운 오류가있을 수 있습니다. T1에는 에 새로운 오류가 없습니다. 각 오류는 게이트 입력 중 하나에 존재해야하며 에도 마찬가지로 스위치는 T1에 새로운 오류를 발생시키지 않습니다. OR 게이트에 대한 분석은 이중입니다.$C^k_g$$D^r_g$$C^k_g$$C^k_g$$D^r_g$

따라서 최종 근 사기의 오류 수는 의 게이트 수, CNF / DNF 스위치 (T0의 경우) 또는 DNF / CNF 스위치 (T1의 경우)에 의해 발생 가능한 최대 오류 수에 의해 제한됩니다. 그러나 Razborov의 원래 증거 (Lemma)의 핵심 통찰력 인 묶인 절을 가진 긍정적 인 결부 정규 형식의 속성이므로 적어도 하나의 경우 (T0 또는 T1)에서 총 오류 수는 "큰"이어야 합니다. Blum의 논문에서 5).$\beta$$k$

Blum은 부정을 처리하기 위해 무엇을 했습니까 (입력 레벨로 푸시되어 회로 에 여전히 바이너리 OR / AND 게이트 만 포함되어 있습니까)?$\beta$

그의 생각은 모든 변수가 양수인 경우에만 CNF / DNF 및 DNF / CNF 스위치를 제한적으로 수행하는 것입니다. 그런 다음 스위치는 Berg 및 Ulfberg의 경우와 동일하게 작동하여 동일한 양의 오류가 발생합니다. 이것이 고려해야 할 유일한 경우라고 밝혀졌습니다.

그래서 그는 몇 가지 차이점을 가지고 Berg와 Ulfberg의 노선을 따릅니다. 대신 부착의 , , 및 각 게이트에 회로의 , 그의 변형, 부착 , , 및 , 즉 및 와 다른 것으로 정의 된 "감소 된"분리형 및 결합 형 일반 형식D N F ( g $CNF(g)$$DNF(g)$ D의 R g g β C N F ' ( g ) D N F ' ( g ) C ' 케이 g의 D ' R의 g의 C N F ( g ) D N F ( g ) C ' (R)의 g의 D ' R의 $C^k_g$$D^r_g$$g$$\beta$$CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^k_g$${D'}^r_g$$CNF(g)$$DNF(g)$"흡수 규칙"에 의해 모든 혼합 된 monomials / clause에서 부정 된 변수를 제거함 , R은 각 게이트에 적용되도록 정밀하게 만들 수 있지만 제거되는 것은 이전 두 입력뿐만 아니라 해당 게이트로 이어지는 전체 회로에 따라 및 및 , 그가 소개했습니다.${C'}^r_g$${D'}^r_g$

그는 정리 5에서 모노톤 함수의 경우 감소 된 와 가 루트 노드 (그 출력은 의 전체 함수 출력) 인 세트 T1 및 T0에서 실제로 1과 0을 계산할 것이라고 결론 지었다 . 이 정리는 맞습니다. D N F ' g 0$CNF'$$DNF'$$g_0$$\beta$

이제 오류를 계산합니다. 각 노드의 오류는 감소 된 와 (이제 두 가지 다른 기능 일 수 있음)를 및 와 비교하여 계산되어야한다고 생각합니다. 그가 정의한대로 근사값의 정의는 부정 변수와 변수를 혼합 할 때 및 (1 단계) 의 앵무새 정의를 정의 하지만 양수 변수를 처리 할 때는 Berg 및 Ulfberg의 경우와 같이 스위치를 사용합니다 (2 단계). 실제로 2 단계에서 이전과 같은 수의 가능한 오류가 발생합니다 (동일한 스위치이며 관련된 모든 변수가 양수 임).D N F ' ( g ) C ' R g D ' K g C N F ' D N F $CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^r_g$${D'}^k_g$$CNF'$$DNF'$

그러나 증거는 1 단계에서 잘못되었습니다. Blum이 , 와 혼동하고 있다고 생각합니다 . 는 이전의 (게이트 , )에서 및 . 차이가 있으므로 " 문 에는 또는 " 의 절을 사용하는 게이트 g의 근사화 이전에 포함 된 모든 절이 여전히 포함 됩니다. 일반적으로 잘못되었습니다.γ 2 h 1 h 2 C N F ' β ( h 1 ) C N F $\gamma_1$$\gamma_2$$h_1$$h_2$$CNF'_\beta(h_1)$C ' g의 CNF ' β (g)γ ' 1 γ ' $CNF'_\beta(h_2)$$C_g'$$CNF'_\beta(g)$$\gamma_1'$$\gamma_2'$

나는 이전 작업이 매우 중요하고 Blum의 증거를위한 기초 역할을하는 Alexander Razborov에 대해 잘 알고 있습니다. 나는 오늘 그를 만나게 된 행운을 빕니다. 그가 증거를 보았는지 여부와 그가 한 경우에 대한 그의 생각은 무엇인지에 관한이 모든 문제에 대한 그의 의견을 묻는 데 시간을 허비하지 않았습니다.

놀랍게도 그는 실제로 Blum의 논문을 알고 있었지만 처음에는 읽지 않아도된다고 대답했습니다. 그러나 더 많은 명성을 얻었을 때, 그는 그것을 읽을 기회를 즉시 얻었고 결함을 즉시 발견했습니다. 그의 논문에서 정리 6의 핵심과 모순되기 때문에 부정확하다.

이것은 (a) 본인의 말이 아니라 소셜 미디어 플랫폼에 관한 Luca Trevisan의 인용 또는 CSTheory.SE 계정이없는 다른 사람의 인용으로 인해 커뮤니티 답변으로 게시됩니다. (b) 누구나 업데이트 된 관련 정보로 자유롭게 업데이트해야합니다.

Shachar Lovett가 요청한이 백서에 대한 질문에 대한 답변으로 공개 Facebook 게시물 (08/14/2017) 에서 Luca Trevisan 을 인용합니다 .

초 다항식 회로 복잡도 (추상, 섹션 7)가 있다고 주장하는 Andreev의 함수는 유한 필드에서의 일 변량 다항식 보간입니다.

실제로 이것은 반드시 증명이 실패하는 지점은 아닙니다. 그런 다음 Luca는 아래 Andrew의 의견과 관련된 질문 후 다음 (08/15/2017)에 답변했습니다.

네 말이 맞아, 나는 Andreev의 함수의 정의를 잘못 이해했다. 다항식 보간으로 줄어드는 것이 확실하지 않다.

Karl Wimmer 는 Gustav Nordh가 제기 한 내용에 대해 다음과 같이 언급했습니다 (Karl의 허가로 재생 됨).

이것에 덧붙여, 정리 5 증명의 처음 두 단락에서 왜 계산 한다고 결론을 내릴 수 없습니다 . I는 일부 한면 다움의 정렬 참조 되도록 계산 함수 이 기능은도 1을 의미한다.f D N F ' ( g 0 ) f = $\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f = 1$

세 번째 단락은 나에게 도움이되지 않습니다 : 확실히 와 DNF / CNF 스위치는 동일한 기능을 계산하지만 DNF / CNF 스위치가 계산하는 것을 즉시 따르지는 않습니다 ( 는 그렇지 않을 수 있으므로 -clauses 에 대한 결론을 내릴 수 없습니다 .$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$

(제외 :이 단면은 구스타프의 예 와 일치 합니다.)

다른 관점에서 보면, 모노톤 기능을 계산하는 표준 네트워크는 내부 노드에서 비 모노톤 기능을 계산할 수 있습니다. 정리 5는 비 모노톤 함수에는 적용되지 않으므로 는 출력 노드가 인 네트워크에서 하위 함수가 제대로 계산되지 않을 수 있습니다 (많은 비 모노톤 함수에서 발생 함). 이 때문에 의 귀납적 구성 이 반드시 올바른지 확신 할 수 없습니다.g의 D N F ' ( g 0$\mathrm{DNF'}(g)$$g$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

내가 완전히 기본이 아닌 경우 알려주세요!

Karl의 의견에 대한 반응으로 익명의 사용자로부터 :

DNF '및 CNF'는 f에 대한 DNF 및 CNF에 불과하며, 반대 리터럴의 취소가 수행되므로 더 짧은 형식으로 줄어 듭니다. 이것은 또한 논문에서 설명되며, 정의에서 다소 번거롭지 만 그것이 바로 그 것입니다. 정리 5는 문제가 아니며 고기는 정리 6에 있습니다.

그리고 Karl의 대답 (여기서 다시 재현) :

나는 아논이 무엇을 말하는지 봅니다 (감사합니다!); 내 의견은 혼란을 제대로 해결하지 못했습니다. 가 모노톤이고 에서 계산되는 경우 흡수 및 연산자를 적용 하면 결과 은 나타냅니다 . 이 "원샷"구성을 사용하여 정리 5는 정리 6에 적합합니다. 나는이 정의에 대해g 0 D N F ( g 0 ) R D N F ' ( g 0 ) f D N F ' ( g 0$f$$g_0$$\mathrm{DNF}(g_0)$$R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

내가 볼 수없는 것은 27-28 페이지 의 게이트 별 적용 흡수 및 -as-you-go 구성 이 동일한 작업을 수행하는 이유입니다. 이 구성의 오류가 설명되지 않는 한 정리 6의 게이트 별 분석이 작동하는 데 필요한 것으로 보입니다. 나는, 아니 모든 기능은 심지어에만 부정 비 또는 부정 리터럴 용어와 DNF로 표현 될 수 있지만, 각 노드에 대한 의미 , 항상이 양식을 갖고있는 것 같아요. 에 그러한 표현이 없도록 네트워크에 노드 가있는 경우 어떻게 합니까?D N F ' ( g 0 ) g D N F ' ( g ) g r e s ( g $R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$g$$\mathrm{DNF'}(g)$$g$$\mathrm{res}(g)$

(또 다른 작은 (?) 요점 : 가 게이트 단위 구성에서 수행하는 작업을 보지 못합니다 .1-4에서 는 이미 표준 DNF 구성 인 것처럼 보입니다. 흡수와 적용됩니다.)α $R$$\alpha$$R$

R의 정의에 대한 모호함은 섹션 6에서 문제가 될 수 있음에 동의합니다. R은 명시 적으로 정의되지 않았으며 R의 행동이 전체 DNF에 영향을 미치지 않는 한 (그리고 게이트의 DNF 값에 영향을 미치지 않는 한) 문제가있을 수 있습니다. Deolalikar의 증거는 비슷한 문제를 겪었습니다. 두 가지 정의가 혼동되었습니다. 여기서 우리는 적어도 DNF '가 무엇인지 알고 있으며, 이것이 6 장의 문제의 원인이라면 쉽게 추적 할 수 있습니다. 나는 아직 6 절에 들어 가지 않았지만, 4 절에서 설명한 Berg와 Ulfberg의 근 사자들에 의한 이해 증거가 필요하다. 궁극적으로는 1985 년 Razborov의 건설과 관련이있다. 쉽지 않다.

R 작동 방식 설명 :

R이 어떤 단계에서 적용되면 반대 단계의 리터럴을 포함하는 용어 만 취소합니다 (음수 리터럴을 추적해야 할 수도 있음). 예를 들어, 를 먼저, 첫 번째 AND 노드에서 DNF '를 계산하기 위해 R을 적용하기 전에 를 얻습니다. 그러나 R을 적용한 후 첫 번째 괄호에서 첫 를 잃고 얻습니다 처음 는 추적하는 경우 가상 NOT 가질 수 있음 ) . 그런 다음 두 번째 AND를 적용하여( ( x ∨ y ) ∧ ( ¬ x ∨ y ) ) ∧ ( x ∨ ¬ y ) ( x ∨ y ) ∨ ( ( x ∧ y ) y ) ∨ ( y ∧ y ) ) x

$$(x\lor y) \land (\lnot x \lor y) \land (x \lor \lnot y)$$ $$((x\lor y) \land (\lnot x \lor y))\land (x \lor \lnot y)$$ $$(x\lor y) \lor ((x\land y)\lor (y\land y))$$ $x$ $$(y) \lor (x\land y)\lor (y),$$ $y$$x$ $$((y) \lor (x\land y)\lor (y)) \lor ((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y)),$$ 그러나 R은 첫 번째 대괄호에는 가상 NOT y가 있기 때문에 (이 경우 이전 단계를 추적 할 필요는 없지만 일반적으로 필요할 수 있음) 또는 간단히( x ∧ y $$((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y))$$ $$(x\land y)$$

주장 된 증거의 정확성은 Luca Trevisan의 블로그에서 논의되고 있습니다 : https://lucatrevisan.wordpress.com/2017/08/15/on-norbert-blums-claimed-proof-that-p-does-not-equal- np /

특히 "anon"은 다음과 같은 관련 의견을 게시했습니다.

"Tardos는 Razborov와 Alon-Boppana의 주장이 다항식의 비 모노톤 회로에 의해 계산되는 함수로 이어진다는 것을 관찰했습니다 (이 함수는 그래프의 Lovasz 세타 함수를 근사하는 작은 변형입니다). Berg와 Ulfberg의 주장도 Tardos의 기능을 적용하면 (직접적으로 Razborov의 증거에 기반한 것으로 보이므로 직관적으로 가능하다) Blum의 현재 주장이 정확하지 않다는 것이 분명하다. 불행히도 저자는이 점에 대해 논의하지 않았다. "

"Mikhail"의 직접적인 질문에서 Alexander Razborov는 이것을 확인합니다 (Mikhail의 게시물 참조) : Berg와 Ulfberg가 제시 한 추론은 Tardos의 기능에 대해 완벽하게 유지됩니다. 그렇기 때문에 Blum의 증거는 핵과 모순되므로 반드시 정확하지 않습니다. 그의 논문에서 여섯 번째 정리의. -라즈 보 로프

내 의견으로는 이것은 종이가 올바른지 아닌지에 대한 문제를 분명히 해결합니다 (정확하지 않습니다!). 증명 방법 자체에 결함이있는 것처럼 보이기 때문에 증명을 복구하는 것이 어렵다는 점에 유의해야합니다.

업데이트 (2017/08/30) Norbert Blum은 arXiv 페이지에 다음과 같은 의견을 게시했습니다.

증거가 잘못되었습니다. 실수가 무엇인지 정확하게 설명하겠습니다. 이를 위해서는 시간이 필요합니다. 홈페이지에 설명을하겠습니다

Gustav Nordh 은 Theorem 5 에 댓글을 달았습니다 (29 페이지). 구체적으로, 기능

와 가 모두 인 경우에만 함수를 계산 하므로 모노톤입니다. 함수에 대한 위의 표현식 은 노드가 리터럴 및 해당 하는 "표준 네트워크" (유일한 부정은 리터럴에 해당) , 부정 및 각 이진 표현식을 나타냅니다. 네트워크 의 출력 노드가 이라고 .$1$$x$$y$$1$$\beta$$x$$y$$\beta$$g_0$

블룸 종이 새로운 논리합 정규형 생성 에서 표시 될을$DNF'_{\beta}(g_0)$$\beta$

이제 정리 5에 따르면 각 단항 은 있습니다. 그러나에서 monomials 하나 이고 의 implicant하지 않다 (때문에 의미하지 않는다 , 정리 모순 참조). 그러나 Gustav Nordh의 의견과 idolvon의 자세한 설명에서 언급 한 것처럼이 명백한 불일치는 감속 연산자 의 정의에서 "원산지"라는 용어를 적절하고 광범위하게 해석하여 해결됩니다 .F D N F ' β ( g 0 ) X F (X) = 1 F ( X , Y ) = 1 개 $DNF'_{\beta}(g_0)$$f$$DNF'_{\beta}(g_0)$$x$$f$$x=1$$f(x,y)=1$$R$

리드 - 솔로몬 코드 중 하나를 사용 목록 디코딩은 안드레의 POLY 기능, P에서 시바 쿠마가 자신에했던 방식과 유사 보여 수 회원 비교 종이 ? 아니면 POLY 기능이 NP-complete라고 알려져 있습니까?

그는 한 자신의 arXiv 업데이트 자신의 증거가 잘못된 말 :

증거가 잘못되었습니다. 실수가 무엇인지 정확하게 설명하겠습니다. 이를 위해서는 시간이 필요합니다. 홈페이지에 설명을하겠습니다.

립톤과 레이건의 블로그 여기가 증거 구조에 대한 흥미로운 의견과 함께 좋은 높은 수준의 토론이있다.

또한 Blum의 가계도는 30 년 이상 지속되는 불리언 회로 복잡성에 대한 하한을 입증 한 것으로 지적합니다. 전문가들이 이미 증거를 진지하게 연구하고 있기 때문에 이것은 물론 "부수 정보"입니다.

또한 여기 : https://www.quora.com/Whats-the-status-of-Norbert-Blums-claim-that-operatorname-P-neq-operatorname-NP

인용 Alon Amit :

(개인 의견, 하루 후반 8 월 14 일) : 나는이 논문이 면밀히 조사 될 것이라고 생각하지 않는다. P ≠ NP만큼 대규모로 연구 된 심오한 정리는 깊고 광범위한 새로운 기술로 해결 될 것입니다. 알려진 기존 방법의 약간의 향상으로 해결할 수는 없지만 불가능할 수도 있습니다.

다음과 같은 이유로 정확하지 않을 수 있습니다. 근사 방법은 하한을 사용하여 증명할 수있을 정도로 일반적입니다. 이것은 Razborov에 의한 결과입니다. 왜 문제입니까? 그것은 근사 방법이 주요 진보가 아니라는 것을 의미하기 때문에 아무것도 표현할 수 있으며 고기는 다른 곳에있을 것입니다. 논문에 그러한 고기가없는 것 같습니다. 이는 저자가 눈에 숨겨져 있지만 본질적으로 답을 암시하는 가정 인 미묘한 실수를 저지르고 있음을 시사합니다. 복잡한 이론가가 아닌 사람들을 위해 : 이것은 아주 좋은 냄새 테스트입니다. 지하실에서 로켓을 만들어 일주일 만에 달을 여행한다고 누군가의 주장처럼 사실 일 것입니다.

미묘한 실수는 어디에 있습니까? Trevisan의 블로그에는 Lovett의 숨겨진 가정이 정리 6에 무엇이 있는지 제안하는 의견이 있습니다.

$NP-c$$P$

$C$$f$$f$$C$$m$

부울 함수에는 단 하나의 진리표가 있지만 단일 대수 표현식이 없으며, 문제를 해결하는 부울 함수는 하나도 없습니다.

일부 (모두 일 수도 있음) 기능은 동형 (문제가 아님)입니다.

$NP=P$$m$$m$$f$$f$$f$