Razborov의 근사 방법에 대한 고급 개요

Razborov의 근사 방법은 무엇입니까? 누군가 높은 수준의 개요와 그 뒤에 직관을 줄 수 있습니까?

하자 에 부울 함수 될 -bits. 이라고하자 . 하자 N 비트와 사이즈의 회로 일 수 및 게이트는 . 는 또한 를 마지막 게이트로 사용하여 서브 회로에 의해 계산 된 비트 의 함수를 나타냅니다 . 첫 번째 게이트는 입력 입니다. 목표는 크기의 가 계산할 수 없음 을 보여주는 것입니다 . 입력에 대한 모든 계산을 고려하십시오.$f$$n$$Z = f^{-1}(0) \subseteq 2^n$$C$$m$$g_1, \ldots, g_m$$g_i$$n$$g_i$$n$$x_1, \ldots, x_n$$C$$m$$f$$C$$Z$. 계산은 게이트의 출력에 값을 할당합니다. 를 의 부울 대수로 하자 .$B$$P(Z)$

비트의 모든 함수 에 대해 와 얼마나 잘 어울리는지를 고려해야합니다 . 하자 .$g$$n$$f$$Z$$||g|| = \{w \in Z \mid g(w) \neq 0 \}$

한외 여과 우리는 의 새로운 계산을 정의 할 수 있습니다 : iff . 울트라 필터는 기본적으로 0 값에 대한 일관된 계산 세트이므로 결과 는 유효한 계산입니다. 그것은이 따를 것입니다$F \subseteq B$$c(g_i) = 0$$||g_i|| \not\in F$$c$$f(c_1, \ldots, c_n) = 0$ . 기존 계산에서 새로운 계산을 만들었습니다. 유한 세트의 모든 울트라 필터는 기본이므로$c_1,\ldots,c_n \in Z$. 이것은 모든 회로에서 작동하며 회로 크기가 크다는 사실을 이용하지 않았습니다.$m$.

다음 아이디어는 회로의 유한성을 활용하여 외부에 새로운 입력을 구성하는 것입니다. $Z$ 과 $f(w) \neq 0$ 그러나 회로는 제한된 크기로 인해 인식하지 못하므로 여전히 0을 출력합니다. $f$.

외부에서 입력을 얻을 수 있도록 울트라 필터의 정의를 완화해야합니다. $Z$. 울트라 필터 대신에 우리는$B$ ($a \in F$ 과 $a \subseteq b$ 암시 $b \in F$)를 충족시키는 만남 ($a,b \in F$ 암시 $a \cap b \in F$).

허락하다 $W_F = \{w \in 2^n \mid w_i = 0 \to ||\lnot x_i|| \in F, w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F\}$. $W_F$ 다음과 일치하는 입력 세트입니다. $F$. 만약$F$ 프라임 ($a \cup b \in F$ 암시 $a \in F$ 또는 $b \in F$) 및 전체가 아님 ($\emptyset \not\in F$) 그런 다음 각 $i$, $F$ 포함하거나 $||x_i||$ 또는 $||\lnot x_i||$ 과 $W_F$ 단일 입력 만 포함합니다.

우리는 만남의 보존을 편하게 할 것입니다. 부울 대수에서 모든 모임 대신 작은 숫자를 유지합니다. 허락하다$|f|$ 가장 작은 숫자이다 $k$ 만남의 $M = (a_1 \cap b_1, \ldots, a_k \cap b_k)$ 위쪽으로 닫히고 전체가 아닌 경우 $M$보존 $F$, $W_F \subseteq Z$.

허락하다 $m$ 회로 복잡성 $f$. 라즈 보 로프는$\frac{1}{2}|f| \leq m \leq O(|f|^3 + n^3)$.

이 불평등은 모든 기능 에 적용 됩니다. 회로 크기 하한을 증명하려면$m$ 모두에게 보여줘 $m$-만남 $M$, 이있다 $F$ 조건을 만족하지만 $W_F$ 에 포함되어 있지 않습니다 $Z$. 또한 두 번째 불평등 때문에이 방법으로 강한 회로 하한을 증명할 수 있습니다.

회로 하한 증명의 실제 부분은 $m$, 어떠한 것도 $m$-이 같은 것을 충족 $F$. 모노톤 회로의 경우$W_F$ 단순화하다 $w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F$ 그래서 와서 $F$ 더 쉽습니다.

Alexander Razborov, 1989 년 근사법에 관한 연구. pdf

Mauricio Karchmer, 회로 크기에 대한 낮은 경계 증명, 1995.

2009 년 Razborov의 근사 방법 인 Tim Gowers. pdf

면책 조항 : 이것은 Blum의 최근 논문에 사용 된 방법에 대한 직관을 제공하기위한 고급 개요 일뿐입니다.

앞에서 언급 한 논문에 사용 된 것과 더 가까운 표기법을 사용하려고합니다.

허락하다 $f$ 부울 함수이다 $n$ 변수 $x_1,\dots,x_n$. 불리언 네트워크 컴퓨팅을 증명하고자한다고 가정하자$f$ 큰 크기입니다.

부울 네트워크가 주어짐 $\beta$ 컴퓨팅 $f$ 출력 노드에서 다음 프로세스를 고려하십시오.

1. 게이트를 주문 $\beta$ 일부 토폴로지 순서에 따라 $g_1,g_2,\dots,g_m$ 여기서 마지막 노드는 출력 노드입니다.
2. 각 시간 단계마다 $t=1,\dots,m$게이트에서 계산 된 함수 를 근사 합니다$g_t$ "간단한"기능으로 $f_{g_t}$. 이 근사값은 노드의 다운 스트림 노드에서 계산 된 기능을 변경할 수 있습니다$g_t$ (특히 출력 노드에서의 기능 $g_m$ 변경되었을 수 있습니다).

이 프로세스가 끝나면 다음에서 계산 된 함수를 근사화합니다. $g_m$ 간단한 기능으로 $f_{g_m}$.

다음으로 테스트 입력 그룹을 구성하십시오. $T\subseteq \{0,1\}^n$.

다음 진술을 증명할 수 있다고 가정하십시오.

• 각 개별 노드의 근사값은 양호합니다 (즉, 최대 $e$입력에서 많은 실수가 발생합니다. $T$ 각 근사 단계에서).
• 간단한 함수는 근사하지 않습니다 $f$ 잘 (즉, 간단한 기능을 위해 $f_{g_m}$우리는 $f_{g_m}\neq f$ 이상 $d$-분획 $T$).

그런 다음 단순히 오류 수를 세면 $\beta$ 최소한 있어야합니다 $\tfrac{d\lvert T\rvert}{e}$-많은 문.

이 근사 체계가 모든 네트워크에서 작동하는 것으로 표시 될 수있는 경우 $\beta$ 함수 계산 $f$그러면 회로 복잡도에 대한 하한에 도달합니다. $f$.