이진 곱셈의 가장 중요한 비트 결정

다음 결정 문제의 복잡성을 결정하는 데 관심이 있습니다. 두 정수 및 (각각 최대 m 비트)를 고려하여 곱셈 의 최상위 비트 가 1 인지 여부를 결정하십시오 (여기서 아마도 0을 선행하는 2m 비트)? $l_1$ $l_2$ $l_1 \cdot l_2$

문제의 일부 배경 : 물론,이 문제는 요청 이진 곱셈의 특별한 경우인지 곱셈 번째 비트 자신의 논문에서 1입니다 부문 유니폼, 일정한 깊이 임계 회로 및 반복 곱셈 헤세는 Allender 및 링톤은 반복 된 (따라서 바이너리) 승산 것을 증명 - 균일 . 또한 이진 곱셈은 이미 - 균일 인 것으로 잘 알려져 있습니다. $i$ $l_1 \cdot l_2$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ -단단한. 그러나이 경도 결과를 입증하는 특정 소스를 찾을 수 없었습니다. 회로 복잡도의 비전문가로서, 나는이 일반적인 경도 결과에 대한 포인터를 높이 평가할 것이다. 마지막으로, 이진 곱셈이 있다고 가정 - 균일 한 합니까이 남아 : -hard, 내 질문로도 읽을 수 있습니다 - 균일 한 - 이진 곱셈의 가장 중요한 비트 만 결정하려면 어려울까요? $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{DLogTime}$ $\mathsf{TC}^0$

업데이트 : Kaveh의 대답은 이진 곱셈이 -hard (COUNT에서 축소) 인 이유를 명확하게 보여 줍니다. 이진 곱셈의 가장 중요한 비트를 결정하는 정확한 복잡성은 여전히 열려 있습니다 (그리고 현상금은이 질문에 대한 것입니다). $\mathsf{TC}^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— 헤이 헤이
소스

Descriptive Complexity 책 iirc에 증거가 있습니다. 가장 중요한 비트가 하나라는 것이 무엇인지 확실하지 않은 경우 항상 정의에 의한 것입니다.

— Kaveh

이것은 선생님의 농담입니다. 비트는 0 또는 1이며 최상위 비트는 최상위 위치에서 0이 아닌 비트입니다. 정의상 1과 같습니다 (요인

및

중 하나 가 0이 아닌 경우).

l_{1}

$l_1$

l_{2}

$l_2$

— Gamow

@Kaveh 참조 해 주셔서 감사합니다. 확인해 보겠습니다. 가장 중요한 부분에 대한 혼란을 드려 죄송합니다. 결과가 2m-1 비트로 인쇄되고 필요한 경우 선행 0으로 인쇄되는 것으로 암시 적으로 가정합니다.

— Heyheyhey

@Kaveh : Descriptive Complexity Book에는 상한 만 언급됩니다. 그래도 이진 곱셈의 경도와 관련하여 아무것도 찾을 수 없습니다.

— Heyheyhey

사용자가 작성 "또한, 이진 곱셈은 이미 공지 것을 보인다

- 균일

. -hard를" 왜 그렇게 보이나요? 이진 곱셈이

이 아니라는 것을 알고 있습니다.

D L o g T i m e

$\mathsf{DLogTime}$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— 토마스 클림 펠

대한 곱셈이 완료되었으며 이는 잘 알려진 결과입니다. 감소는 카운트 (2 진 숫자의 1 비트 수)입니다. 이진수의 비교는 있으므로 는 환원 될 수 있습니다. $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{Majority}$ $\mathsf{Count}$

줄이려 에 아니라 다음 수행 입력이 고려 . 삽입 사이 0 들과 전화 . 곱하기 그것 처럼되는 것을 제외 그 안에 S를 1S로 대체된다. 선택합니다 . 의 중간 부분에 숫자 가 답입니다. 감소는에 $\mathsf{Count}$ $\mathsf{Mult}$ $a_0a_1\ldots a_n$ $k$ $a_i$ $a$ $b$ $a$ $a_i$ $k>3n$ $ab$ $\mathsf{FO}$ 그리고 보여줍니다 . $\mathsf{Count} \in \mathsf{FO(Mult)}$

— 카베
소스

답변 주셔서 감사합니다! 예, TC0에 대한 이진 곱셈이 완료되었는지 확인합니다. 가장 중요한 부분은 몇 가지 문제가 남아 있다는 것입니다. 곱셈 (111 x 111) = 110001의 최상위 비트는 1이고,이 (100 x 100) = 010000의 경우 0입니다. 곱하기의 최상위 비트는 두 경우 모두 동일합니다. 따라서 나는 일반적으로 가장 중요한 비트를 합산하는 것으로 충분하다고 생각하지 않습니다. 뭔가 빠졌습니까?

— Heyheyhey

x = ⌊ 2^{n + 1 / 2} ⌋

$x=\lfloor2^{n+1/2}\rfloor$

y = ⌈ 2^{n + 1 / 2} ⌉

$y=\lceil2^{n+1/2}\rceil$

x^{2}

$x^2$

y^{2}

$y^2$

x

$x$

y

$y$

편집 내용이 올바르지 않습니다. 우리는 m 개의 숫자를 더하기 때문에, 단지 1 비트의 캐리가 아니라 log m입니다. 전파되는 양을 결정하는 것은 훨씬 어렵습니다.

— Emil Jeřábek

실제로, 다른 모든 것을 무시하면 : 단일 위치에서 수행하는 캐리 (예 : 중간 어딘가) 계산은 이미 Count와 동일하므로 TC ^ 0-complete입니다.

— Emil Jeřábek

@Heyheyhey, 내가 쓴 공식은 FO이므로 균일 한 AC0입니다.

— Kaveh