반쯤 채워진 매직 스퀘어 문제가 NP- 완전합니까?

여기 문제가 있습니다 :

일부 셀에는 1.N의 숫자가있는 사각형이 있습니다. 마법의 광장으로 완성 할 수 있는지 결정해야합니다.

예 :

2 _ 6       2 7 6
_ 5 1  >>>  9 5 1
4 3 _       4 3 8

7 _ _ 
9 _ _  >>>  NO SOLUTION 
8 _ _

이 문제가 NP-complete입니까? 그렇다면 어떻게 증명할 수 있습니까?

MS의 크로스 포스트

부분적으로 채워진 라틴 사각형을 채우는 것은 NP-Complete입니다. "일부 라틴 정사각형 완성의 복잡성"Charles J. Colbourn. 이산 응용 수학, 8 권, 1 호, 1984 년 4 월 25 ~ 30 페이지 http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90075-1

모듈 식 산술을 통해 라틴 제곱 문제를 마법의 제곱 문제로 바꿀 수 있습니까? 내 직감은 그렇다고 말하지만 나머지 뇌에는 "다시 채점해라!"

이 질문에는 두 부분이 있습니다. 첫째, NP의 문제입니까, 둘째는 NP-hard입니까?

첫 번째 부분은 명백한 증거로 긍정적 인 대답을합니다. (이전 오류를 지적한 Suresh에게 감사합니다.)

다음과 같은 방법으로 질문을 결정 문제로 공식화하십시오.

$n$$n$$n$

$1,2,\dots,n^2$

$n$$n$$n$$n$$n$

$n^2$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$\sqrt{5}^{n-1}$

이것은 또한 정리 4.7로 나타납니다.

• Apoloniusz Tyszka, R과 C의 산술에 대한 두 가지 추측 , 수학. 로그. 쿼트. 56 175–184, 2010.

$2^n$$2^{n-1}$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$2^n$

$2^{n-1}$

결과는 다음과 같습니다.

$N$$2^{O(N^2)}$

$O(N^4)$$O(N^8)$$n^2 + 2(n+1)(n-2)+1 = 3n^2-2n-3$$n-2$$m$$O(m^2)$

$n$

INTEGER LINEAR PROGRAMMING 인스턴스의 솔루션에 Papadimitriou의 경계를 사용하면 숫자가 모두 음수가 아닌 버전도 NP에 있음을 알 수 있습니다.

$A$$r \times s$$b$$r$$\{-a, -a+1, \dots, a-1, a\}$$Ax = b$$\{0,1,\dots,s(ra)^{2r+1}\}$

$a=1$$s=n^2+1$$r=2n+2$

• Christos H. Papadimitriou, 정수 프로그래밍의 복잡성에 대한 JACM 28 765–768, 1981. ( link )