가우시안 제거의 실제 시간 복잡도는 얼마입니까?

이전 질문에 대한 답으로, “가우시안” 제거가 $O(n^3)$ 시간에 실행 된다는 일반적이지만 잘못된 믿음을 언급했습니다 . 알고리즘이 $O(n^3)$ 산술 연산을 사용한다는 것은 명백하지만 , 부주의 한 구현은 지수 적으로 많은 비트를 갖는 숫자를 생성 할 수 있습니다. 간단한 예로, 다음 행렬을 대각선으로 만들고 싶다고 가정합니다.

[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 2 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 1 & 2 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 2 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 2 \\ \end{bmatrix}$

나누기없이 한 행의 정수 배수를 다른 행 에만 추가하는 버전의 제거 알고리즘을 사용하고 항상 행렬의 대각선 항목을 피벗하면 출력 행렬에는 벡터 대각선을 따라. $(2, 4, 16, 256, \dots, 2^{2^{n-1}})$

하지만 입니다 가우스 소거법의 실제 시간 복잡도는? 대부분의 조합 최적화 작성자는 "강력 다항식"에 만족하는 것 같지만 다항식이 실제로 무엇인지 궁금합니다.

$n\times n$ $m$ $O(n(m+\log n))$ $m=O(\log n)$ $O(n^5)$ $\tilde{O}(n^4)$ $O(\log n)$

이것이 여전히 최고의 분석입니까? 더 나은 명시 적 시간 제한을 제공하거나 필요한 정밀도에 대해 더 나은 제한을 제공하는 표준 참조가 있습니까?

더 일반적으로 : 임의의 선형 방정식 시스템을 푸는 것으로 알려진 가장 빠른 알고리즘의 실행 시간 (정수 RAM에서)은 얼마입니까?

ds.algorithms reference-request linear-algebra

— 제프
소스

(폭력적인 핸드 웨이브 삽입)이 특별한 경우 해싱 모듈로 작은 소수 트릭을 사용하여 큰 정수 문제를 해결할 수 없습니까? 알고리즘은 무작위 화되지만 여전히 .. 이것은 당신이 묻는 질문에 대답하지 않습니다 ...

— Suresh Venkat

O (n^{3} M_{B} [n (\log n + L)])

$O(n^3 M_B[n (\log n + L)])$

표준 가우시안 제거 알고리즘은 나중에 행을 줄이기 전에 피벗 행을 피벗 요소로 나눕니다. 공개 질문은이 표준 버전을 나타냅니다. 내 질문의 시작 부분에 제시 한 예는 다른 변형을 사용하며 피벗 요소로 나눌 수 없습니다.

— Jeffε

궁금한. Bereiss의 알고리즘에 대한 Yap의 시간 제한은 Edmonds의 Gaussian 제거 분석에서 암시 된 시간 과 동일 합니다.

— Jeffε

rjlipton 은 최근이 지역을 조사 하고이 주제에 대한 Kannan Phd 논문을 인용했습니다. 분석의 핵심 부분은 wrt Smith 정규 형식

— vzn

답변:

$\widetilde O(n^3 \log( \|A\| + \|b\|))$

— 엘리아스
소스

참조 주셔서 감사합니다! 이것은 내 두 번째 질문에 대한 답변이지만 첫 번째 질문에는 대답하지 않습니다.

— Jeffε

피벗을 사용하는 경우 가우시안 제거 (GE)에서 중간 결과의 비트 크기는 다항식이며 지수 폭발은 없습니다. 이것이 Bareiss 결과라고 생각합니다. GE의 복잡성에 대해서는 Gathen과 Gerhard의 책에 매트릭스 의 결정자를 계산하기위한 "현대 컴퓨터 대수학"알고리즘이 있습니다. 이것은 GE, 모듈 식 산술 및 중국 나머지 이론을 기반으로합니다 (5.5 절, pp 101-105). 복잡도는 입니다. 빠른 산술을 사용하여 의 요소를 저장할 수 있다고 생각합니다 . 내가 틀리지 않으면, 이것은 user834가 언급 한 경계입니다.

A

$A$

O (n^{4} \log^{2} ‖ A ‖)

$O(n^4 \log^2\|A\|)$

n

$n$

— Elias

@ 엘리아스, 그 표현에서 규범의 정의는 무엇입니까? 절대 크기에서 가장 큰 계수입니까? 비트 크기입니까? 또한, 임의의 합리적인 행렬에 대한 결과입니까?

— Juan Bermejo Vega

첫 번째 질문에 대한 답은 다음과 같은 주장으로 인해 생각합니다. Edmonds의 논문은 가우시안 제거의 변형을 설명하지 않습니다 그러나 알고리즘 단계에서 계산 된 숫자는 A의 일부 하위 행렬을 결정하는 요소임을 증명합니다. 선형 및 정수 프로그래밍 이론에 대한 Schrijver의 저서에 따르면 A의 인코딩에 b 비트가 필요한 경우 b는 $\widetilde O(n^3 \log( \|A\| + \|b\|))$ $\widetilde O(\log( \|A\|)$ ) 그런 다음 모든 하위 결정 요소에는 최대 2b 비트가 필요합니다 (정리 3.2). 가우시안 제거를 다항식 시간 알고리즘으로 만들려면 계산 된 몫에주의해야합니다. 중간 단계에서 계산하는 모든 분수에서 공통 인자를 취소해야하며 모든 숫자는 인코딩 길이가 A의 인코딩 길이에 선형입니다.

— 마티아스 월터
소스