BPP가 P / poly에 있다는 것을 알고 나면 BPP 대 P가 실제 문제입니까?

우리는 BPP P / poly 및 훨씬 더 강한 BPP / poly P / poly 가 포함된다는 것을 알고 있습니다 (현재 약 40 년 동안 Adleman, Bennet 및 Gill에게 감사드립니다) . "/ poly"는 우리가 불균일하게 (각 입력 길이 에 대해 별도의 회로) 일한다는 것을 의미하고 , 이 "/ poly"가없는 P 는 가능한 모든 입력 길이 대해 하나의 Turing 머신을 가지고 있음을 의미 합니다 . = 다음 "빅뱅"까지의 시간 (초)입니다. $\subseteq$ $\subseteq$ $n$ $n$ $n$

질문 1 : 증명 (또는 반증) 어떤 새로운 것 BPP = P는 우리가 알고있는 후 우리의 지식에 기여 BPP를 $\subseteq$ P / poly를 까?

"새로운"이란 다른 복잡한 클래스의 축소 / 분리와 같은 놀라운 결과를 의미합니다. 이것을 NP $\subseteq$ P / poly 의 증명 / 비방이 가져올 결과와 비교하십시오 .

[ADDED 08.10.2017] : BPP $\not\subseteq$ P 의 놀라운 결과 중 하나 는 Impagliazzo와 Wigderson 에서 볼 수 있듯이 E = DTIME 모든 (!) 문제 는 크기가 $[2^{O(n)}]$ $2^{o(n)}$ . 이 결과를 상기시켜 준 Ryan에게 감사합니다.

질문 2 : 왜 BPP / poly P / poly 의 증거와 유사한 선을 따라 BPP = P 를 증명할 수 없습니까? $\subseteq$

하나의 "명백한"장애물은 유한 대 무한 도메인 문제 : 부울 회로가 이상 작동 유한 튜링 기계가 이상 전체 세트 작업 반면, 도메인 의 - 길이의 문자열을. 따라서, 확률 론적 부울 회로를 비 무작위 화하기 위해서는, 확률 론적 회로의 독립된 사본 대부분을 취하고 체 르노 프의 불평등을 노동 조합과 함께 적용하는 것으로 충분하다. 물론, 무한 도메인에 대해서는이 단순한 다수 규칙이 적용되지 않습니다. $\{0,1\}^*$ $0$ $1$

그러나 이것이 (무한 도메인) 실제 "장애"입니까? 통계 학습 이론 (VC 차원)의 결과를 사용함으로써, 우리는 이미 BPP / poly over P / poly가 산술 회로 (모든 실수에 대해 작동)와 같은 무한 영역에서 작동하는 회로에도 증명할 수 있습니다 . 예를 들어 Cucker의이 논문을 참조하십시오 . 비슷한 접근 방식을 사용할 때, 폴리-타임 튜링 머신의 VC 치수가 너무 클 수 없다는 것을 보여 주기만하면됩니다. 후자 단계를 시도한 사람이 있습니까? $\subseteq$

참고 [2017년 7월 10일 추가] derandomization의 맥락에서, 클래스의 VC 치수

함수

최대 숫자로 정의된다

기능이 존재하는

에서

이러한 즉 모든 위해

포인트가

와

F

$F$

f : X \to Y

$f:X\to Y$

v

$v$

f_{1}, \dots, f_{v}

$f_1,\ldots,f_v$

F

$F$

S \subseteq {1, \dots, v}

$S\subseteq\{1,\ldots,v\}$

(x, y) \in X \times Y

$(x,y)\in X\times Y$

IFF

. 즉, 함수를 통해 포인트 세트가 아니라 포인트를 통해 함수 세트를 산산조각냅니다. VC 차원의 두 가지 결과 정의는 관련되어 있지만 지수 적으로 관련됩니다.

f_{i} (x) = y

$f_i(x)=y$

i \in S

$i\in S$

결과는 (알려진 확률이 균일 수렴 ) 후 다음을 의미한다 : 만약 각 입력 , 임의로 고른 함수 (일부 확률 분포 하에서 를 만족하는) 상수에 대한 , 다음 에서 계산 될 수 있는 모든 $x\in X$ $\mathbf{f}\in F$ $F$ $\mathrm{Prob}\{\mathbf{f}(x)=f(x)\}\geq 1/2+c$ $c>0$ $f(x)$ 의 입력 일부 대다수로서 (고정)의 함수 . 예를 들어Haussler의 논문의 Corollary 2를참조하십시오. [이를 유지하기 위해 에 약간의 측정 가능 조건이 있습니다.] $x\in X$ $m=O(v)$ $F$ $F$

예를 들어, 모든 다항식의 집합이다 계산 가능한 연산 회로의 크기가 후 모든 다항식 최대 과정 . (예를 참조 다항식 제로 패턴의 수에 공지 된 상한을 이용하여 본 연구 ), 하나의 VC 차원 것을 보여줄 수 이고 . 이것은 BPP / poly 포함을 의미합니다 $F$ $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ $\leq s$ $F$ $D=2^s$ $F$ $O(n\log D)=O(ns)$ $\subseteq$ 산술 회로를위한 P / poly.

— Stasys
소스

Regarding Q1: a disproof would show surprisingly small circuits for every problem solvable in 2^(O(n)) time, by Impagliazzo-Wigderson (as you probably know?)

— Ryan Williams

I am confused by Q2. It seems obvious that the VC dimension of a poly-time TM is infinite. I.e. for any finite set

X \subseteq {0, 1}^{*}

$X \subseteq \{0,1\}^*$ and any

S \subseteq X

$S \subseteq X$ there exists a polytime TM that accepts the elements of

S

$S$ and rejects the elements of

X ∖ S

$X \setminus S$ . The key thing is that

X

$X$ is finite, so the polytime restriction is basically irrelevant.

— Sasho Nikolov

Re Q2, the inclusion doesn't really have much to do with complexity class and computational power I think, it is about the amount of random bits versus the amount of advice, so I don't think it gives us any information about the nature of efficient computation.

— Kaveh

@Kaveh: the hint "amount of random bits vs. the amount of advice" is worth to think on! But in my (layman's) mind, even in questions like P vs. NP, we do not actually care about an "explicit" construction of a (uniform) TM. Such questions only ask about the existence of efficient algorithms. Of course, a construction is a "no doubts" proof of the existence. But there can be some less direct proofs as well. So, the things reduce to extending "existence for each

n

$n$ " to showing "existence for all

n

$n$ ". That is,

\forall \exists

$\forall\exists$ to

\exists \forall

$\exists\forall$ .

— Stasys

Even if you fix the running time, the VC-dim will be infinite. What you can hope to do is to bound the VC-dim of time

T

$T$ bounded TMs running on input size

n

$n$ . But if you think about the argument then, you would have to take a majority of potentially different TMs for every

n

$n$ : nonuniformity.

— Sasho Nikolov

Not sure how much of an answer this is, I'm just indulging in some rumination.

Question 1 could be equally asked about P $\neq$ NP and with a similar answer -- the techniques/ideas used to prove the result would be the big breakthrough more so than the conclusion itself.

For Question 2 I want to share some background and a thought. Pretty much all the techniques and ideas we have for BPP=P, as far as I'm aware, go via "derandomization": Given any probabilistic polytime Turing Machine, construct a PRG to feed it a bunch of deterministically chosen bits instead of random ones, such that its behavior is very similar to its behavior on truly random bits. So with good enough pseudorandom generators, we get BPP=P. (Goldreich's "World of BPP=P" gives evidence that any proof of BPP=P must equate to this.)

This is pretty much along the lines of BPP $\subseteq$ P/poly, except there, the PRG is the advice string which is produced by magic. Perhaps the best answer to your Question 2 is that in P we have no magic and must come up with the advice string ourselves. Derandomization is also the idea behind the 2004 result SL=L, using tools like expander graphs.

Now consider what such a proof would imply for just one particular algorithm, the Miller-Rabin primality test. It would show the existence of some deterministic generator that picks out a sequence of integers to feed to the Miller-Rabin primality test such that, if and only if all the integers passed, then the original number was prime.

As I understand it (though I am no expert), the question of whether such a list exists and how small the numbers in it can be (in particular if it sufficices to check all the numbers below some bound) seems quite a deep question in number theory and is closely related to proving forms of the generalized Riemann Hypothesis. See this question. I don't think there's a formal implication here, but it doesn't seem like something we expect to get next week as an accidental miniature corollary of a much more general PRG construction.

— usul
소스

Interesting thoughts! Oded's paper suggests that Q2 indeed reduces to "existence vs. construction" of PRGs. In derandomization via VC dimension, algorithmic aspects are entirely ignored.

— Stasys

Thanks to all (Kaveh, Ricky, Ryan, Sasho and "usul"): I've learned a lot from your comments. "Uniformity" was never an issue in my life, hence the naivity of my questions. I am accepting the answer of "usul". Complemented by very interesting remarks of Kaveh, Ricky, Ryan and Sasho, this answers my both questions.

— Stasys