두 개의 비 등방성 그래프

나는 매우 구체적이기를 원합니다. 다음 제안에 대한 증거 또는 증거를 아는 사람이 있습니까?

$\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N},$

$\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H),$

$\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}),$

$|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi.$

직관적으로, 모든 비 등방성 그래프를 " local"문을 사용하여 구별 할 수 있으면 이것이 사실이어야하며, 이것이 거짓이라고 생각할 것입니다. 물론 그래프 modulo isomorphism을 간단히 지정할 수 있으므로 다항식 정량화 깊이를 사용하여 그래프를 구별 할 수 있습니다.$Clog(n)^k$

$\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists x_3 ... \exists x_n (\forall x (\bigvee_{i \in V_G} x = x_i) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in E_G} E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \notin E_G} \neg E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in V_G^2 \mid i \neq j}x_i \neq x_j).$

편집 : 그래서 내가 가진 지역 직감이 거짓 인 것 같습니다. 수량 자 깊이 의 공식 은 Gaifman locality가 묶여 있으며 , 이는 로그 깊이 공식이 기본적으로 전역임을 의미합니다. 이런 이유로, 나는 그 제안이 진실로 판명 될 것이라는 직감을 가지고 있는데, 이것은 내 의견으로는 증명하기 가 훨씬 더 어렵다.$k$$O(3^k)$

이 답변을 제안한 동료 Maxim Zhukovskii에게 감사합니다.

대답은 부정적이며 그 반대의 예는 다소 간단합니다. 다만 취할 및 에 대한 및 및 은 입니다. (여기서 있는 -clique 및 의 집합 정점 절연). Ehrenfeucht 게임을 고려하면 첫 번째 경우 가능한 최소 깊이는 이고 두 번째 경우에는 임을 알 수 있습니다.$G=K_m\sqcup \overline{K_m}$$H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_{m-1}}$$n=2m$$G=K_m\sqcup \overline{K_{m+1}}$$H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_m}$$n=2m+1$$K_s$$s$$\overline{K_s}$$s$$m$$m+1$

이는 용지에 도시 된 "어퍼 정량의 깊이 경계 그래프의 제 1 오더 definability" 이 결합 거의 기밀임을 올렉 Pikhurko 헬무트 VEITH 올렉 Verbitsky 의해 두 -vertex 그래프는 깊이 식 구별 .$n$$\frac{n+3}{2}$