바이너리 벡터 의 를 통해 모든 주요 권력에 대한 의 를 통해 ?

I가 세트가 이진 벡터 및 타겟 벡터 어느 모든 벡터입니다.S = { s 1 , … , s n } ⊆ { 0 , 1 } k ∖ { 1 k } t = 1 $n$$S = \{s_1, \ldots, s_n \} \subseteq \{0,1\}^k \setminus \{1^k\}$$t = 1^k$

추측 :하면 원소의 선형 조합으로 작성 가능 위에 모든 주요한 전력의 , 그때 의 선형 조합으로 작성 가능 위에 , 즉 대해 에 합산되는 정수 계수를 가진 선형 조합이 있습니다.$t$$S$ q t S Z t $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ $q$$t$$S$$\mathbb{Z}$$t$$\mathbb{Z}$

이것이 사실입니까? 누구에게나 친숙해 보입니까? 이 주제에 관한 문헌을 검색 할 때 어떤 키워드를 사용해야할지 확실하지 않으므로 모든 의견을 부탁드립니다.

반대로 정수 대해 모든 계수 대해 동일한 합계 mod 를 평가하면 여전히 평등이됩니다. 따라서 정수 계수를 가진 선형 조합은 모든 계수에 대해 선형 조합이 존재 함을 의미합니다.$t = \sum_{i=1}^n \alpha_i s_i$$a_i$$q$$q$

편집 14-12-2017 : 가 모든 소수 대한 선형 조합 mod 때마다 선형 조합이 존재한다고 가정하여 추측이 처음에 더 강력했습니다 . 이것은 알고리즘 응용 프로그램에서 악용하기 쉽지만 거짓으로 밝혀졌습니다. 여기에 반례가 있습니다. 은이 행렬의 행으로 제공됩니다.$\mathbb{Z}$$t$$q$$q$$s_1, \ldots, s_n$

$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

Mathematica는 벡터 이 첫 1000 개의 소수에 대한 이 벡터 mod 의 범위에 있음 을 확인했으며, 이것이 모든 소수에 해당된다는 충분한 증거입니다. 그러나 대한 정수 선형 조합은 없습니다 . 위의 행렬은 대한 전체 순위 와 을 선형 조합으로 쓰는 고유 한 방법을 의 위에 계수 사용 . ( 는 이러한 벡터 모드 의 선형 조합으로 쓸 수 없습니다의 Q Z의 R ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ) ( s의 1 , ... , s의 6 ) R ( 1 / 2 , 1 / 2 , 1 / 2 , - 1 / 2 , - $t = (1,1,1,1,1,1)$$q$$\mathbb{Z}$$\mathbb{R}$$(1,1,1,1,1,1)$$(s_1, \ldots, s_6)$$\mathbb{R}$t $(1/2, 1/2, 1/2, -1/2, -1/2, 1/2)$$t$$4$그러나 업데이트 된 형태의 추측과 모순되지 않습니다.)

와 에 대한 완화 된 제약 조건에서도 수정 된 추측은 사실입니다. 즉, 세트 가 유한 한 한 임의의 정수 벡터 일 수 있습니다 . 의 벡터를 행렬로 정렬하면 선형 시스템 의 정수 에 대한 문제를 간단히 물음에 묻습니다 . 따라서 다음과 같이 문제를 공식화합니다.t S S S x = $S$$t$$S$$S$

제안 : 과 보자 . 그런 다음 선형 시스템 IS 풀수에서 가에서 풀 수있는 경우에만, 모든 주요 권력에 대한 . t ∈ Z k S x = t Z Z / q Z$S\in\mathbb Z^{k\times n}$$t\in\mathbb Z^k$$Sx=t$$\mathbb Z$$\mathbb Z/q\mathbb Z$$q$

이것은 적어도 두 가지 방법으로 증명할 수 있습니다.

증명 1 :

모든 소수 의 경우, 시스템 모듈로의 각 의 용해도 는 adic integers 의 고리에서 해결할 수 있음을 의미합니다 . (솔루션이 독특하지 않다는 사소한 문제가 있으므로, 주어진 솔루션 mod 및 mod 은 호환되지 않아도됩니다. 예를 들어 의 압축을 사용하거나 ni 니히의 정리.)p m p Z p p m p m ′ Z$p$$p^m$$p$ $\mathbb Z_p$$p^m$$p^{m'}$$\mathbb Z_p$

결과적으로,이 시스템은 제품 즉 무한 정수 의 링 에서도 해결할 수 있습니다. 나는 이것이 에서의 용해성을 의미한다고 주장한다 .

시스템의 용해도 (즉, )는 abelian 그룹의 언어로 (primitive positive) 1 차 문장으로 표현할 수 있으며 상수 보강하여 를 정의 할 수 있습니다 . 이제 구조의 완전한 1 차 이론 이 다음과 같이 공리 화 될 수 있는지 확인할 수 있습니다 (이는 무 순서 버전의 Presburger 산술 또는 이론입니다) -여러 떼):1 t ( Z , + , 1 ) $\exists x\,Sx=t$$1$$t$$(\mathbb Z,+,1)$$\mathbb Z$

1. 비틀림없는 아벨 리아 그룹의 이론,

2. 공리 각 프라임에 대한 ,$\forall x\,px\ne1$$p$

3. 각 프라임 대한 공리 입니다 .$\forall x\,\exists y\,(x=py\lor x=py+1\lor\dots\lor x=py+(p-1))$$p$

그러나 이러한 모든 원칙은 에도 적용됩니다. 따라서 구조 와 은 기본적으로 동일 하며 에서 의 용해도는 . (Z,+,1)( Z ,+,1)S(X)=t Z$\hat{\mathbb Z}$$(\mathbb Z,+,1)$$(\hat{\mathbb Z},+,1)$$Sx=t$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$

실제로, 우리는 실제로 위의 의 완전한 axiomatization이 필요하지 않습니다 . 가 공리 2를 만족 한다는 것을 관찰하는 것으로 충분합니다 . 이는 가 a 의 순수한 하위 그룹 이므로 순수한 -submodule 입니다.Z Z Z Z$(\mathbb Z,+,1)$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$

증명 2 :

행렬 이 Smith 정규형 이되도록 행렬 및 이 있습니다. 넣습니다 . 경우 용액이다 후 의 용액이다 , 반대로, 만약 의 해결책 다음, 의 해결책 . ( 은 정수 행렬 이므로이 등가는 모든 정류 고리를 유지합니다 .)N ∈ G L ( N , Z ) S ' = M S N t ' = M t X S (X) = t X ' = N - 1 X S ' X ' = t ' X ' S ' x ' = t ' x = N $M\in\mathrm{GL}(k,\mathbb Z)$$N\in\mathrm{GL}(n,\mathbb Z)$$S'=MSN$$t'=Mt$$x$$Sx=t$$x'=N^{-1}x$$S'x'=t'$$x'$$S'x'=t'$ S x = t M , M - 1 , N , N - $x=Nx'$$Sx=t$$M,M^{-1},N,N^{-1}$

따라서 일반성을 잃지 않고 가 대각 행렬 이라고 가정 할 수 있습니다 ( 경우 초과 행 또는 열이 0임을 의미 ). 그런 다음 에서 시스템 를 해결할 수없는 경우에만k ≠ n S x = t $S$$k\ne n$$Sx=t$$\mathbb Z$

1. 0이 아닌 대각선 항목 에 , 의 해당 항목 는 로 나눌 수 없습니다 . 또는 S t i t s i $s_{ii}$$S$$t_i$$t$$s_{ii}$

2. 일부 의 경우 의 번째 행 은 0이지만 입니다.i S t i ≠ $i$$i$$S$$t_i\ne0$

는 이고 첫 번째 경우에는 와 같은 주요 거듭 제곱으로 하자 . 그러면 시스템 는 에서 해결할 수 없습니다 .q ∤ t i q ∣ s i i S x = t Z / q $q$$q\nmid t_i$$q\mid s_{ii}$$Sx=t$$\mathbb Z/q\mathbb Z$