카운팅 및 조합의 Pfaffian 방법에 관하여

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최근에는 홀로그램 알고리즘에 대해 소개했습니다. 나는 Pfaffians라는 조합 개체를 발견했습니다. 나는 현재 그 사람들에 대해 많이 알지 못하고 그들이 사용할 수있는 놀라운 용도를 발견했습니다.

예를 들어 평면 그래프에서 완벽하게 일치하는 수를 효율적으로 계산하는 데 사용할 수 있다는 것을 알게되었습니다. 또한 2 * 1 타일을 사용하여 체스 판의 가능한 타일 수를 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 타일링 연결은 나에게 호기심이 많았고 웹에서 더 관련성이 높은 자료를 검색하려고 시도했지만 대부분의 경우 연결에 대해 한두 가지만 찾았습니다.

나는 누군가가 관련 문헌에 대한 어떤 언급을 제안 할 수 있는지 물어보고 싶었는데, 그것이 정말로 좋을 것이기 때문에 나는 관련된 자료를 연구하기를 고대하고있다.

reference-request co.combinatorics counting-complexity

— 아카 쉬 쿠마르
소스

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이것을 "이합체 문제"라고합니다. 개요는 Baxter의 "정확하게 해결 된 모델"섹션 7.14 및 math.brown.edu/~rkenyon/papers/de2.pdf 섹션에 있습니다. Dimer 수는 Ising model partition function, Ising partition function의 예제로 표현할 수 있습니다. Pfaffian을 통해 cs.cmu.edu/~jch1/research/presentation/globersonjaakkola.ppt

— Yaroslav Bulatov에서

의견 yaroslav에 감사드립니다. cmu 예제가 도움이 될 것 같습니다

— Akash Kumar

당신은에서 pfaffians의 짧은 역사에 관심이있을 수 있습니다 combinatorics.org/Volume_3/PDF/v3i2r5.pdf

— 라두 고르에게

의견 Radu에 감사드립니다. 로빈 토마스의 또 다른 설문 조사를 보았습니다. 여기에서 찾을 수 있습니다 people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf

— Akash Kumar

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(Pfaffian에 대해서도 읽고 있기 때문에 이것은 흥미로운 질문입니다.)

다음 참조를 제안합니다.

Lovasz와 Plummer 의 멋진 책 Matching Theory 의 8 장 .
결정자 및 화 용자를위한 Division-Free 알고리즘 페이퍼 : Rote의 대수 및 조합 접근법 . 이 논문은 Pfaffian을 교대 폐쇄 보행 시퀀스 (일명 교번 클로우 시퀀스) 라고하는 조합 객체와 관련시켜 Pfaffian 계산을 위한 동적 (구분없는) 알고리즘을 제공합니다.
용지 교차하지 않는 경로 PFA FFI ANS 및 평면 파티션 Stembridge 의해 어느 조합론의 구성을 열거하는 파피 안을 사용하는 방법을 보여준다. 이 논문은 또한 기본 정체성에 대한 조합 적 증거를 제공한다.

경우 스큐 대칭 행렬이며, 다음 . $A$ $\mathsf{pf}(A)^2 = \mathsf{det}(A)$

— 다이 레
소스

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정말 감사합니다. 그것들은 정말 좋은 참고 자료입니다. 나는 곧 그들을 통해 갈 것입니다. 다시 감사합니다. 그리고 그렇습니다,이 크리스마스를 즐기고 새해 복 많이 받으세요!

— Akash Kumar

@arnab와 @Akash 내 제안이 도움이되어 기쁩니다! 기쁜 성탄과 새해 복 많이 받으세요!

— Dai Le

@ Dai, 이것은 매우 흥미로워 보인다. 이 세 문헌 중 Berkowitz의 알고리즘 (Pfaffian 버전)에 대해 언급 한 것은 무엇입니까?

— Michael Soltys

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당신은 찾을 수 이 논문을 파피 안 회로와 참조 흥미로운 안에; 나는 그것이 홀로그램 알고리즘에 대한 자립적 인 소개 일뿐 아니라 Pfaffians로 할 수있는 것을 탐구하는 것을 의미했습니다.

— 제이슨 모튼
소스

대단해! 감사하고 새해 복 많이 받으세요!

— Dai Le

우와 ... 좋아요! 내가 원하는 것과 완전히 일치합니다. 많은 감사 (그리고 네 새해 복 많이 받으세요)

— Akash Kumar

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이것은 실제로 의견 이었지만 공간이 부족하기 때문에 이것을 답변으로 게시하고 있습니다.

답변 주셔서 감사합니다. 최근에 로빈 토마스 (Robin Thomas)의 또 다른 설문 조사를 접했습니다. http://people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf에서 찾을 수 있습니다 .

이 외에도 타일링 연결 (Dana Randall 교수가 지적한 것)에 대한 설명을 추가 할 것입니다. 이중 격자를 취하면 2x1 도미노 타일은 가장자리입니다. 따라서 완벽한 타일링은 듀얼에서 정확히 일치합니다. 그런 다음 Pfaffians의 이론을 사용하여 평면 그래프에서 완벽한 일치를 계산할 수 있습니다.

즉, 그래프에서 완벽한 일치를 계산하는 데 주로 집중할 수 있습니다. 나머지는 사소한 일입니다.

— 아카 쉬 쿠마르
소스

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Charles Little, Fischer, McCuaig, Robertson, Seymour and Thomas, Loebl, Galluccio, Tesler, Miranda, Lucchesi, de Carvalho 및 Murty (지금 내 마음에 오는 것들)의 작업도 있습니다.