임의의 부울 함수에 사소한 자동 변형 그룹이있을 확률은 얼마입니까?

부울 함수가 주어짐 $f$우리는 automorphism 그룹이 있습니다 $Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$.

알려진 경계가 있습니까 $Pr_f(Aut(f) \neq 1)$? 양식의 양으로 알려진 것이 있습니까?$Pr_f(G \leq Aut(f))$ 일부 그룹 $G$?

예. 첫 번째 질문에 따르면 확률은 두 배 지수 빠르게 빠릅니다. 이것은 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 각 순열에 대해$\pi$, 우리는 $\pi \in Aut(f)$즉 $f(\pi(x)) = f(x)$ 모든 $x \in \{0,1\}^n$. 궤도를 고려하십시오$\pi$ 에 행동 $\{0,1\}^n$. 우리는 그것을 가지고$\pi$ 의 다형성이다 $f$ iff $f$ 에 일정하다 $\pi$궤도. 만약$\pi$ 중요하지 않습니다. 적어도 하나의 궤도를 $[n]$ 그것은 싱글 톤이 아니므로 적어도 궤도에서 $\{0,1\}^n$그것은 싱글 톤이 아닙니다. 궤도가 있다고 가정$k$그것의 요소. 그 확률$f$ 그 궤도에서 일정하므로 정확하게 $2^{-(k-1)}$. 한다고 가정$\pi$ 에 행동 $[n]$ 있다 $c_1$ 고정 점 $c_2$ 길이 2 등의주기 (특히 $\sum_{i=1}^n i c_i = n$). 그런 다음 포인트 수$\{0,1\}^n$ 에 의해 고정 $\pi$ 정확하게 $2^{\sum_i c_i}$. 나머지 모든 포인트$\{0,1\}^n$ 사소한 궤도에있다 $\pi$. 확률을 상한으로$\pi \in Aut(f)$모든 고정되지 않은 요소가 $\{0,1\}^n$ 크기가 2 인 궤도로 들어 와서 $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$ 어디 $M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$. 이제 우리는 하한을 원합니다$M$이는 상한을 원한다는 의미입니다. $\sum_i c_i$. 이후$\pi \neq 1$, 가장 큰 $\sum c_i$ 때가 될 수있다 $c_1 = n-2$ 과 $c_2 = 1$즉 $\sum c_i = n-1$ 과 $M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$그래서 $M \geq 2^{n-1}$ 과 $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$. 이제 유니온 바운드를 적용하십시오.$|S_n| = n!$그래서 $Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$기본적으로 $2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$ 같이 $n \to \infty$꽤 빨리.

어떤 주어진 $G \leq S_n$ 비슷한 추론을 사용할 수 있지만 확률도 매우 빠르게 0이됩니다.