정규 언어 포함의 매개 변수화 된 복잡성

나는 고전적인 문제 정규 언어 포함에 관심이 있습니다. 정규 표현식 주어지면 , 우리는 그와 관련된 정규 언어 를 로 표시합니다. (일반 표현식은 고정 알파벳 에 있으며 조합, Kleene-star 및 연결이 있습니다.) $E$ $L(E)$ $\Sigma$

입력 : 두 정규 표현식 및 질문 : 그것은 사실이다 ? $E_1$ $E_2$
$L(E_1)\subseteq L(E_2)$

REGULAR LANGUAGE INCLUSION은 PSPACE-complete 인 것으로 알려져 있습니다 [1].

고전적인 방법은 (PSPACE 단위) NFA 쌍이 구성하는 해결 및 연관된 및 DFA에 구축, 로부터 하는 DFA로 보완 , 마지막 교차로 오토 마톤 작성 발을 과 의 교차점에 대응하는 와 . 이제 경우에만 거기에 어떤 받아들이는 경로의 경우 . $A_1$ $A_2$ $E_1$ $E_2$ $D_2$ $A_2$ $D_2^C$ $A_P$ $A_1$ $D_2^C$ $L(E_1)$ $L(E_2)^C$ $L(E_1)\subseteq L(E_2)$ $A_P$

내가 실수하지 않으면 가 고정 언어 인 경우 전체 프로세스를 다항식 시간으로 수행 할 수 있습니다. 지수 급증은 를 로 변환 하여 발생하기 때문 입니다. 더 좋은 점은 의 길이입니다 . $E_2$ $A_2$ $D_2$ $|E_2|$ $E_2$

이것은 내 질문에 동기를 부여합니다.

질문 : 때 고정 된 표현이며, 정규 언어의 포함의 복잡성은 무엇인가? PSPACE-complete로 유지됩니까? $E_1$

LJ Stockmeyer와 AR Meyer. 지수 시간이 필요한 단어 문제 : 예비 보고서. 컴퓨팅 이론에 관한 제 5 차 연례 ACM 심포지엄 진행, STOC '73, pp. 1-9.

비고 : 이 분야의 전문가가 아니기 때문에 [1] (그리고 그 당시의 관련 논문)을 읽을 수 없으며 PSPACE- 완전성에 대한 또 다른 증거를 찾을 수 없었습니다. 책은 매우 환영합니다! 또한 저자는 정규 표현에서 제곱을 허용하는 것 같습니다. 요즘은 표준이 아닙니다.)

— 플로랑 푸코
소스

언어 보편성 (예 : E1 = Sigma *)이 PSPACE- 완전하므로 PSPACE- 완료 상태로 유지됩니다.

— Denis

Btw를 허용하면 제곱을 허용하면 EXPSPACE-complete 문제가 발생하며 언급 한 결과는 제곱하지 않습니다.

— Denis

들어 , 그것은 일정한 시간에 풀 수있다. 고정 문자열 대한 경우 다항식 시간으로 해결할 수 있습니다. 용 는 PSPACE 완성된다. 이 생길 존재 하는가 등의 문제가 있음 - 전체를?

E_{1} = \emptyset

$E_1 = \emptyset$

E_{1} = w

$E_1 = w$

w

$w$

E_{1} = Σ^{*}

$E_1 = \Sigma^{*}$

E_{1}

$E_1$

N P

$NP$

— Michael Wehar

알았어 고마워! @Denis, (답변으로) 답변으로 바꾸시면 동의하겠습니다!

— Florent Foucaud

@MichaelWehar : 일부 coNP 완료 사례가 여기에서 입증 되었지만 ( doi.org/10.1137/080743457 ) 고정 언어 가 아님 (그러나 매우 제한적인 언어 클래스 )

— Florent Foucaud

언어 보편성의 특정 경우 (모든 단어가 허용됩니까?)는 정규 표현식 또는 NFA의 경우 PSPACE- 완료입니다. 그것은 당신의 질문에 대답합니다 : 일반적으로 언어의 보편성이 대응하기 때문에 문제는 고정 에서도 PSPACE-complete 상태를 유지 합니다. $E_1$ $E_1=\Sigma^*$

이제는 민속으로 간주되기 때문에 정규 표현 보편성을위한 현대의 읽을 수있는 PSPACE- 경도 증명을 찾기가 실제로 어렵습니다. 다음은 증거를 재구성 할 수있는 빠른 증거 체계입니다.

튜링 머신 고려 알파벳 다항식 공간 이용한 , 그리고하자 위한 입력 단어 수 . 이 허용되는 실행이없는 경우에만 모든 단어를 허용 하는 정규식 를 작성합니다 . $M$ $\Sigma$ $p(n)$ $w\in\Sigma^*$ $M$ $e$ $M$ $w$

형식의 단어로 구성된 언어 고려하십시오. 여기서 각 는 길이가 정확히 인 의 구성이고 , 은 가있는 초기 구성입니다 . 테이프 가 승인 각 은 유효한 전환입니다 . 의 단어 는 허용되는 실행을 설명합니다 . $L_M$ $\$C_0\$ C_1\$\dots\$ C_f\$$ $C_i$ $M$ $p(n)$ $C_0$ $w$ $C_f$ $C_i\to C_{i+1}$ $M$ $L_M$ $M$

우리는 구축 알파벳 있도록 정확히에없는 단어를 받아 의 정의의 위반에 대한보고, . 라는 표현 은 큰 차이 . 여기서 각 는 다른 종류의 위반을 찾습니다. 예를 들어 는 다음의 위반을 찾습니다. 각 크기는 정확히 입니다. 가장 까다로운 부분은 와 사이의 위반을 추측하는 것입니다 $e$ $\Sigma'=\Sigma\cup\{\$\}$ $e$ $L_M$ $L_M$ $e$ $e_1+e_2+\dots+e_k$ $e_i$

e_{1} = (Σ^{'})^{*} $ (Σ^{< p (n)} + Σ^{> p (n)}) $ (Σ^{'})^{*}

$e_1=(\Sigma')^*\$(\Sigma^{<p(n)}+\Sigma^{>p(n)})\$(\Sigma')^*$

C_{i}

$C_i$

p (n)

$p(n)$

C_{i}

$C_i$

C_{i + 1}

$C_{i+1}$ : 표현식은 사용하여 의 로컬 패턴 과 의 이미지를 비교할 수 있습니다 . 여기서 및 는 로컬 패턴의 표현식입니다. 이를 통해 로컬 패턴에서 의 전이 함수 위반 또는이 패턴 외부의 동일성 위반을 추측 할 수 있습니다 . 결국, 우리가 구 (거기서 작게 polynomially) 정규 표현식의 보편성에 대한 임의의 PSPACE 문제. 몇 가지 세부 사항을 생략했지만 완전한 증거를 작성할 수 있습니다.

C_{i}

$C_i$

C_{i + 1}

$C_{i+1}$

t (Σ^{'})^{p (n)} t^{'}

$t(\Sigma')^{p(n)}t'$

t

$t$

t^{'}

$t'$

M

$M$

L (e) \neq (Σ^{'})^{*} if and only if L_{M} \neq \emptyset if and only if M accepts w

$L(e)\neq (\Sigma')^*\text{ if and only if }L_M\neq\emptyset\text{ if and only if $M$ accepts }w$

물론, 코멘트에서 Michael Wehar가 지적한 바와 같이, 다른 사람들에게는 문제가 더 간단해질 수 있습니다. 이 문제의 복잡성을 분류하는 것은 이 논문 에서 동등성, 격리 및 커버링에 대해 광범위하게 연구되었다 [1]. 이 답변 에서 동등성 문제에 대한 결과 요약을 볼 수 있습니다 (NP 완료 사례가 있음). $E_1$

제곱에 대한주의 사항 : 정규 표현식에서 제곱을 허용하면 포함 및 보편성에 EXPSPACE-complete 문제가 발생합니다 [2]. 은 이제 이진 분해를 사용하여 의 로그 크기 식으로 표현할 수 있으므로 위의 증명 체계에서 볼 수 있습니다. 표현 다항식의 크기를 유지하면서 지수 . $(\Sigma')^{p(n)}$ $p(n)$ $p(n)$

[1] 규칙적이고 문맥이없는 언어 인 Harry B.Hunt, Daniel J.Rosenkrantz, Thomas G.Szymanski에 대한 동등성, 격리 및 문제 다루기. 컴퓨터 및 시스템 과학 저널. 1976 년 4 월 12 권 2 호, 222-268면

[2] 제곱을 사용한 정규 표현식의 동등성 문제에는 지수 공간이 필요합니다 . 메이어, AR 및 L. Stockmeyer. 제 13 회 IEEE 심포지엄 스위칭 및 오토마타 이론, 1972 년 10 월, pp.125–129.

— 데니스
소스

와, 참고 문헌을 공유해 주셔서 대단히 감사합니다 !! 깔끔하다 !! :)

— Michael Wehar 2019

저의 동료가 저에게 이런 종류의 정규 언어 및 오토마타 문제를 다루고 유용한 참고 문헌이 포함 된 다음 설문 조사를 알려주었습니다

— Florent Foucaud