G [M] 조건과 일치하는 최대 M은 2K_2-free입니다.

문헌에 다음과 같은 문제에 가까운 것이 있습니까?

된 그래프 주어 균형 bipartition와 , 완전한 정합이 존재하는 에 매 2 개 에지가되도록 , 에지가 또는 가장자리 (또는 둘 다) ?$G(V,E)$$\{U,W\}$$M$$G$$u_1w_1, u_2w_2\in M$$u_1w_2$$u_2w_1$$G$

다시 말해, 유도 된 서브 그래프 에 없는 완벽한 매칭 이 ? 균형 잡힌 이분법으로 나는 .$M$$G[M]$$2K_2$$|U|=|W|$

추가 조건은 유도 매칭 문제에 사용되는 것과는 정반대입니다. 또 다른 가능성과 관련된 하나의 최대 크기 정합 찾는 문제이고 분형 그래프 의 에지들의 수축되도록 그래프 좌측 에지의 개수를 최소화한다.$M$$G$$M$

매칭 및 정점 패킹 에서 Plummer가 제공 한 매칭 관련 문제 목록을 확인했습니다 . "어떻게"문제입니까? 성공없이.

PS :이 문제는이 결정 문제의 특수한 경우 -에 대해 주어진 , 최대 일치가 분형 그래프 되도록 이다 -free 및 . 입력 그래프가이 분산 균형이고위의 문제가 발생합니다.$k\in\mathbb{N}$$M$$G$$G[M]$$2K_2$$|M|>k$$k=|U|$

감사합니다.

놀라다! (나를 위해).
이러한 유형의 일치는 이미 문헌에서 연구되었습니다. 이를 연결 일치 라고 합니다.

그들은 Plummer, Stiebitz 및 Toft에 의해 Hadwiger 추측에 대한 연구에서 소개되었습니다. "Combinatorial Optimization – Eureka, You Shrink!"책에서 Cameron의 "Connected Matchings"장을 참조하십시오.

이분 그래프 (연결되지 않은 균형)에서 연결된 일치의 상태는 내가 아는 한 가장 개방적입니다 ( 업데이트해야합니다 ). 문제의 가중 버전은 이분 그래프에 대해 NP- 완료입니다. 문제는 코드 이분 그래프에 대해 다항식 시간을 해결할 수 있다는 것입니다.

업데이트 : 문제는 균형 잡힌 이분 그래프 (즉, 질문에서 정확한 질문)에 대해 NP가 완료되었습니다 . 이것은 Alon et al.의 " 멀티 태스킹 용량 : 경도 결과 및 개선 된 구조 " 논문에서 입증되었다 . 그들은 또한 가장 큰 연결 매칭의 크기를 찾는 것이$n^{1-\epsilon}$ NP = co-RP가 아닌 한.

앞서 추가 노트 (관심있는 이들을위한 유지) :
" 화음 이분 그래프로 연결 matchings Jobson 등에 의한". (doi : https://doi.org/10.1016/j.disopt.2014.06.003 ) 및 Caragianis (논문)의 " 특수 그래프 계열에서 연결된 일치 항목 "은 주목할만한 두 가지 참고 자료입니다.

이 질문을 넣는 또 다른 방법이 있습니다. 완벽한 매칭이 있습니까$M$ 균형 이분 그래프의 $G$ 가장자리의 모든 쌍 $M$ 정확히 서로 거리가 1입니다 $G$?
(가장자리 사이의 거리$e$ 과 $e’$ 정점에서 가장 짧은 경로의 길이입니다. $e$ 정점으로 $e’$).

이로 인해 추가 조건은 선 그래프에서 정점의 하위 집합을 찾는 것으로 줄어 듭니다. $L(G)$ 의 $G$따라서 정확히 2 거리에서 정점의 최대 크기 세트 를 찾는 문제는 후보 문제입니다 (문제의 문제에 가까운 것임). 최근 논문 에서 강력한 서브 컬러링 (MA Shalu, S. Vijayakumar, S. Devi Yamini 및 TP Sandhya) 의 알고리즘 측면 에서이 문제를 강력한 세트라고합니다.

Stong set 문제는 ​​일부 그래프 클래스에서 NP-complete 인 것으로 알려져 있습니다. 이분 그래프의 선 그래프에서 상태를 알 수 없습니다. 이 논문은 이분 그래프에서 NP- 완전하다고 말합니다. 우리의 관심은 이분 그래프의 선 그래프 클래스에 있습니다.