제곱근 근본 문제?

제곱근 문제 의 합은 두 개의 시퀀스 및 에 양의 정수가 있는지, 합계 $a_1, a_2, \dots, a_n$ $b_1, b_2, \dots, b_n$ 보다 같거나 합보다 $\sum_i \sqrt{a_i}$ . 이 문제의 복잡성 상태는 열려 있습니다. 자세한 내용은이 게시물을참조하십시오. 이 문제는 계산 기하학, 특히 유클리드 최단 경로와 관련된 문제에서 자연스럽게 발생하며 이러한 문제에 대한 알고리즘을 실제 RAM에서 표준 정수 RAM으로 전송하는 데있어 걸림돌입니다. $\sum_i \sqrt{b_i}$

제곱근 문제의 합에서 Π 로 다항식 시간이 감소하면 문제 Π- 제곱근-하드 (약칭 Σ√-hard?)를 호출하십시오. 다음 문제가 제곱근 근본임을 증명하는 것은 어렵지 않습니다.

4d 유클리드 기하학적 그래프의 최단 경로

인스턴스 : 정점이 점이며 유클리드 디 스탄에 의해 가중 된 모서리 를 갖는 그래프 ; 두 꼭지점 와 $G=(V,E)$ $\mathbb{Z}^4$ $s$ $t$

출력 : 최단 경로 하기 에서 . $s$ $t$ $G$

물론이 문제는 Dijkstra의 알고리즘을 사용하여 실제 RAM에서 다항식 시간으로 해결할 수 있지만 해당 알고리즘의 각 비교는 제곱근 문제를 해결해야합니다. 축소는 모든 정수를 4 개의 완벽한 제곱의 합으로 쓸 수 있다는 사실을 사용합니다. 환원의 출력은 실제의 사이클 정점. $2n+2$

다른 제곱근은 무엇입니까? 실제 RAM에 다항식 솔루션이있는 문제에 특히 관심이 있습니다. 한 가지 가능성에 대해서는 이전 질문 을 참조하십시오 .

Robin이 제안했듯이 지루한 답변은 지루합니다. 제곱근 (예 : PSPACE 또는 EXPTIME)을 포함하는 모든 복잡한 클래스 X의 경우 모든 X- 하드 문제는 지루하게 제곱근입니다.

— 제프
소스

이 질문을 제안한 Suresh와 Peter에게 감사합니다.

— Jeffε

아마도 당신은 대답이 단지 제곱근 문제를 포함하는 것으로 알려진 클래스에 어려운 문제가 아니라고 주장함으로써 사소한 대답을 배제 할 수 있습니다. 예를 들어, PSPACE-hard 문제는 Sum-of-square-roots-hard 일 것입니다. 그러나 아마도 흥미롭지는 않습니다.

— 로빈 Kothari

R^{4}

$\mathbb{R}^4$

Z^{4}

$\mathbb{Z}^4$

@Steven : 네, 맞습니다. 편집했습니다.

— Jeffε

답변:

이것은 다음 설문 (슬라이드 21 시작)에서 조금 논의되었습니다 : http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/games08_tutorial.pdf

유클리드 TSP, 실제 내쉬 평형의 근사, PosSLP 및 FIXP 클래스에 대해 이야기합니다.

— 노암
소스

이것은 매혹적인 연결입니다.

— Suresh Venkat

이것은 지루한 답변이므로 의견이 있어야하지만 평판이 충분하지 않습니다.

$P^{PP^{PP^{PP}}}$ $PosSLP$

[ABKM98] : Allender, Burgisser, Kjeldgaard-Pedersen 및 Miltersen의 수치 분석의 복잡성에 대해.

— 아벨 몰리나
소스

{C o R P}^{P P}

${CoRP}^{PP}$

@ 엘리아스 : 당신은 정교한 수 있습니까? 피상적 인 모습에서, 카얄과 사하구는 관련이 있지만, 제곱근 문제의 일반적인 합계에서 다릅니다 제곱근 문제의 합의 "다항식 버전"을 논의 할 것으로 보인다.

— Ito Tsuyoshi

@Abel : (1) 안녕 Abel, 귀하의 게시물을 보게되어 기쁩니다! (2) 가치가있는 것에 대해 [ABKM98]은 실제로 CCC 2006 에서 발표되었고 2009 년에 출판되었습니다 . (3) 지루한 대답은 의견이 아니라 자신에게 맡겨야합니다. 그러나 나는 이것이 지루한 대답이라고 생각하지 않습니다. :)

— Ito Tsuyoshi

a_{i}

$a_i$

a_{i} = \sum_{i} b_{i} j X^{d_{i} - j}

$a_i=\sum_i{b_ij}X^{d_i-j}$

X > (B + 1)^{(n d)^{O (1)}}

$X>(B+1)^{(nd)^{O(1)}}$

B = m a x {b_{i j}}

$B=max\{b_{ij}\}$

d = m a x {d_{i}}

$d=max\{d_i\}$

C o R P^{P P}

$CoRP^{PP}$