폴리 로그 독립이 바보라는 결과에서 지수를 강화하는 데 진전이 있었습니까?

Braverman은 $(log \frac{m}{\epsilon})^{O(d^2)}$현명한 독립 $\epsilon$바보 깊이 $d$ $AC^0$ 크기의 회로 $m$ 스몰 렌스키 근사와 푸리에 근사를 "함께 붙이기" $AC^0$-계산 가능한 부울 함수. 저자와 이것을 추측 한 사람들은 원래 지수가 다음과 같이 감소 될 수 있다고 추측했다.$O(d)$, 상관 거리에 가까운 다항식을 생성하고 실제로 많은 수의 입력에 대한 함수에 동의하는 것을 상상할 수 있기 때문에 이것에 대한 진전이 있었으면 궁금합니다. 이 두 가지를 함께 붙이지 않고 찾을 수있는 매우 흥미로운 근사치입니다. 그러한 근사치가 학위를 가져야한다고 기대할만한 이유가 있습니까?$O(d^2)$ Braverman이 2010 년에 논문을 썼을 때 그 사실을 알지 못했습니까?

이 논문에 대한 또 다른 질문은 원래 추측이 Boppana의 감도에 대한 경계와 비슷하지만이 경계 이전에 작성된 논문에 있었음입니다. 푸리에 다항식이 작동하면 Boppana의 경계에서 도출 할 수있는 푸리에 농도에 해당하기 때문에 우연의 일치는 아니지만 푸리에 다항식이 작동하면 , 이것이 당신이 얻는 것입니다 "

그의 CCC'17 논문 [1]에서 Avishay Tal은

$$\left(\log\frac{m}{\varepsilon}\right)^{O(d)}\,. \tag{1}$$ 토론을 위해 p.15 : 4를 확인하십시오. 또한 (1)에서 개선 된 Harsha and Srinivasan의 논문에 대한 각주 30 참조 , Tal의 추측에 대한 답변을 참조하십시오.$k$-현명한 독립 $$k = \left(\log m \right)^{O(d)}\cdot\log\frac{1}{\varepsilon}\,. \tag{2}$$ 충분하다 $\varepsilon$바보 크기$m$ 깊이-$d$ AC0 회로.

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[1] 푸리에 스펙트럼의 단단한 경계$\mathsf{AC}_0$A. 탈. CCC'17.

[2] 다항식 근사$\mathsf{AC}_0$P. Harsha 및 S. Srinivasan. RANDOM 2016,