측면 길이 k를 가진 3D 그리드 (메쉬 또는 격자)의 경로 폭은 얼마입니까?

몇 주 전에 mathoverflow 에서이 질문을 했지만 답변이 없습니다.

여기서, 측면 길이 의 3D- 그리드에 의해 및 그래프 를 의미 함 $k$ $G=(V,E)$ $V= \{1,\ldots,k\}^3$ 즉, 노드는 1과 사이의 3 차원 정수 좌표에 배치되고, 노드는 정확히 하나의 좌표가 다른 최대 6 개의 다른 노드에 연결됩니다. $E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}$ $k$

이 그래프의 이름은 무엇입니까? 3D 그리드를 사용하지만 3D 메쉬 또는 3D 격자는 다른 사람들이 사용하는 것입니다.

이 그래프의 트리 폭 또는 경로 폭은 얼마입니까? 이미 어딘가에 게시 되었습니까?

나는 이미 임을 알고있다 . 즉 보다 실제로 작다 . 나를 위해,이 표준 인수를 보여주는 것을 제안 2D 그리드가 treewidth 및 pathwidth가 쉽게 일반화되지 않습니다. $tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)$ $k^2$ $k\times k$ $k$

이를 확인하기 위해 주로 형식의 노드 세트를 사용하여 그리드를 "스윕"하는 경로 분해를 고려합니다 . 관찰 , 최대가되도록 설정되고. 사이 세트 및 $S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}$ $|S_c| \leq (3/4) k^2 + O(k)$ $S_{3/2 k}$ $S_c$ 은 선으로 스윕하여 생성되며 추가 노드가 분리 자로 필요합니다. 보다 정확하게, 세트 $S_{c+1}$ $O(k)$ $S_{c,d} = \{(x,y,z)\mid (x+y+z = c \wedge x \leq d ) \vee (x+y+z = c \wedge x \geq d ) \}$ 의 경로 분해로 . $G$

또한 를 나타내는 증거에 대한 아이디어가 있지만 아직 완료되지 않았습니다. $tw(G) = \Omega(k^2)$

— 리코 야곱
소스

에 대한

. 뭔가 빠졌습니까?

| S_{c} | = Ω (k^{2})

$|S_c| = \Omega(k^2)$

c = ⌊ k / 2 ⌋

$c=\lfloor k/2 \rfloor$

— Sariel Har-Peled

확실한. 그러나

는 상한에서만 사용됩니다. 내가 정말로 신경 쓰는 것은 하한입니다.

S_{c}

$S_c$

— Riko Jacob

이 논문에 관심이 있으신 분 : springerlink.com/content/3nmjlc1g5emx9vpk . 그래프의 "대기열 번호"를 계산할 수있는 경우 정리 1을 사용하여 경로 너비에 하한이 주어집니다.이 정리 에서는 모든 그래프

대해

를 나타냅니다 .

q n (G) \leq p w (G)

$\mathsf{qn}(G) \leq \mathsf{pw}(G)$

G

$G$

— Mathieu Chapelle

오. 내가 참조. 당신은 의미

(3 / 4) k^{2}

$(3/4)k^2$

— Sariel Har 23

@ Sariel : 같은 혼란을 피하기 위해 질문을 편집했습니다.

— Ito Tsuyoshi

답변:

의 경로 폭은 일부 알려진 결과의 결과로 결정될 수 있습니다. FitzGerald [2]는 의 대역폭 이 임을 보여 주었다 $P^3_k$ $P^3_k$ . 하퍼 (Harper) [3]는 그래프가 조건을 만족하면 그 경로 폭과 대역폭이 동일하도록 조건을 보여 주었다. Moghadam [4,5]와 Bollobás and Leader [1]는 독립적으로 모든 다차원 그리드가 Harper의 조건을 만족 시킨다는 것을 보여주었습니다. 이러한 결과의 pathwidth 암시 도 $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2} k \rfloor$ $P^3_k$ . $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2}k \rfloor$

Hsien-Chih가 언급 한 논문에서 우리는 Yoshio가 설명한 것처럼 FitzGerald의 결과를 일반화했습니다. 의 트리 폭은 알려져 있지 않다고 생각합니다 . $P^3_k$

참고 : 방금 영어로 된 논문을 arXiv에 제출했습니다 .

B. 볼로 바스 (Bollobás)와 I. 리더, 압축 및 등방성 불평등, J. Combin. 이론 Ser. A 56 (1991) 47-62.
CH FitzGerald, 그래프 정점의 최적 인덱싱, Math. Comp. 28 (1974), 825-831.
LH Harper, 그래프에서 최적의 번호 매기기 및 등방성 문제, J. Combin 이론 1 (1966) 385-393.
$n$
$n$

— 요타 오타 치
소스

친절하게 새로운 결과를 공유해 주셔서 감사합니다 (그리고 종이!) 또한 TCS SE에 오신 것을 환영합니다 :)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chih : 결과를 공유하기로 결정했습니다 :-) 감사합니다. 사실, 나는 또한 arXiv를 처음 사용합니다.

— 요타 오타 치

3D 그리드의 경로 너비는 3 차원 그리드의 경로 인 IEICE Tech 에서 논문 Ryohei Suda, Yota Otachi 및 Yamaichi Koichi에 의해 연구되었습니다 . 보고서, 2009.

그것은 논문의 초록에서 주장된다

본 논문에서는 정점 경계 너비를 결정하여 3 차원 그리드의 경로 너비를 닫힌 형태로 제공한다.

그러나 정확한 경계는 초록에 명시되어 있지 않으며 현재 전체 논문에 액세스 할 수 없습니다. 저자가 결과를 공유 할 의사가있는 경우 저자에게 개인적으로 연락하여이 질문에 대한 답변을 직접 게시 할 수 있습니다.

— 창시 엔 치치 張顯之
소스

종이는 일본어로 작성되었습니다.

— Ito Tsuyoshi

@ 츠요시 : 네, 도움이 필요할 수도 있습니다 :)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

P_{ℓ} \times P_{m} \times P_{n}

$P_{\ell}\times P_{m}\times P_{n}$

ℓ m

$\ell m$

ℓ + m \leq n + 2

$\ell + m \leq n + 2$

ℓ m - ⌈ (\frac{ℓ + m - n - 1}{2})^{2} ⌉

$\ell m - \lceil (\frac{\ell+m-n-1}{2})^2 \rceil$

P_{k}

$P_k$

k

$k$

ℓ \leq m \leq n

$\ell \leq m \leq n$

@Yoshio : 이것은 의미하기 때문에 답을 얻을 가치가 있습니다.

p w (P_{k}^{3}) = \frac{3}{4} k^{2} + O (k)

$\mathsf{pw}(P^3_k) = \frac{3}{4}k^2 + O(k)$

감사. 그 참조를 직접 찾지 못해 나쁘게 느낄 필요가없는 것 같습니다. 자세한 내용이 궁금합니다.

— Riko Jacob