그래프의 간결한 회로 표현

복잡성 클래스 PPAD (예 : 다양한 내쉬 평형 계산)는 END OF THE LINE으로 환원 가능한 총 검색 문제 세트로 정의 할 수 있습니다 .

라인 END : 주어 회로 S 및 P 와 N 개의 입력 비트들과 N 개의 출력 비트되도록 P (0 ^{, n은} ) = 0 ^N ! = S (0 ^{, N을} ) , 입력 검색 X {0,1}하여 ^N 되도록 P (S (X)) ! = X 또는 S (P (X)) ! = X ! = 0 ^{, N} .

회로 또는 같은 알고리즘 S 및 P는 내재적으로 만 쿼리 별 질의 기준 (유지의 문제점에 노출 지수 함수 정의 큰 그래프 PSPACE를 !), 예 Papadimitrou의 용지 .

그러나 임의 그래프 를 가능하게하는 회로를 설계하는 방법을 이해하지 못합니다 (그래프에 체계적인 구조가 있으면 회로를 찾는 것이 훨씬 쉬워 보입니다). 예를 들어, 소스 정점에 대해 0 레이블을 지정하고 다른 모든 정점에 무작위로 이진 레이블을 할당 하여 지수 적으로 긴 직선을 나타내는 폴리 노 미즈 크기 회로를 어떻게 설계 할 수 있습니까? 이것은 PPAD 관련 논문 에서 암시적인 것으로 보인다 .

온라인 검색에서 가장 가까운 것은 Galperin / Widgerson의 논문 이지만, 여기에 설명 된 회로는 두 개의 정점 레이블을 사용하고 "이 정점이 인접합니까?"라는 부울 응답을 반환합니다.

그렇다면 어떻게 n- 비트 입력 을 취하고 각각의 선행 또는 후속 작업 의 n- 비트 레이블을 출력 하는 지수 크기 그래프의 폴리 노 미즈 크기 회로를 어떻게 설계 하시겠습니까? 아니면 누군가 이것을 잘 설명하는 자료를 알고 있습니까?

귀하의 질문은 묻는 것 같습니다 : 어떻게 하나의 다항식 크기의 회로로 임의의 그래프 (또는 임의의 경로 그래프)를 표현합니까? 대답은 그렇지 않습니다. 2 ^{개의 n} 정점을 갖는 상이한 경로 그래프의 수 는 (2 ⁿ )!이며, n ^c 게이트를 갖는 상이한 회로의 수보다 훨씬 많다 (n ^c log n의 지수 ). 따라서이 많은 정점이있는 거의 모든 그래프는 간결한 회로로 표현할 수 없습니다.

따라서 암시 하듯이 어떤 의미에서는 구조가 높은 그래프 만 이러한 방식으로 표현할 수 있습니다. 그것이 PPAD와 같은 복잡한 클래스를 흥미롭게 만드는 이유입니다. EOL 문제에 대한 입력 그래프를 알고 있어야하는 구조에도 불구하고, 문제를 효율적으로 해결하기 위해 구조를 활용하는 방법을 모릅니다.

내가 당신의 질문을 오해하고 정말로 묻는다면 : EOL의 입력 요구 사항을 충족시키는 회로를 구성하는 방법은 무엇입니까? 매우 고도로 구조화 된 그래프조차도 정점 x를 연결하는 경로 그래프를보십시오 (숫자로 간주) 이진수로)를 x-1 및 x + 1로, 끝은 0과 2 ^ n-1입니다. 또는 EOL을 해결하기가 더 어려워 보이는 사소한 것을 원한다면 E와 D를 선호하는 암호 시스템의 고정 키에 대한 암호화 및 암호 해독 함수로 사용하십시오. 그래프에서 x의 이웃을 E (x)와 D로 설정하십시오. (x), 줄의 끝을 0과 D (0)로 둡니다.

n 개의 정점에 대한 대부분의 그래프는 Kolmogorov- 랜덤이므로 그래프 자체보다 훨씬 작은 회로 (또는 다른 프로그램)로 설명 할 수 없습니다. (Kolmogorov-random의 의미를 모르는 경우 기본적으로 이전 문장의 결론을 그 정의로 사용할 수 있습니다. 그런 다음 거의 모든 문자열이 Kolmogorov-random이라는 사실에 의존합니다.)

나는 당신이 인용 한 작품에 대해 친숙하지는 않지만, 그것들은 항상 회로별로 그래프에 대해 이야기하고 있다고 생각합니다. 즉, 회로에 중점을 두어 간결한 회로가있는 그래프 클래스 (그래프 크기에서 로그 크기)에 대한 관심을 본질적으로 제한하고 있습니다.