절이 서로 "가까운"리터럴 만 사용할 수있을 때 3-SAT의 하드 인스턴스가 있습니까?

변수를 . 두 변수 사이의 거리는. 두 리터럴 사이의 거리는 해당하는 두 변수 사이의 거리입니다.$x_1 , x_2 , x_3 ... x_n$$d(x_a , x_b) = |a-b|$

모든 절 대해 와 같이 3-SAT 인스턴스가 있다고 가정합니다. 어떤 고정 값 .$(x_a , x_b, x_c)$$d(x_a , x_b) \leq N \wedge d(x_a , x_c) \leq N \wedge d(x_b , x_c) \leq N$$N$

개념적으로 모든 리터럴이 물리적으로 한 줄에 있고 모든 절이 물리적 인 이유로 특정 길이를 초과 할 수 없기 때문에 이것을 묘사 할 수 있습니다.

이러한 제약이 주어지면 3-SAT의 어려운 사례가 있습니까? 이웃을 얼마나 작게 만들고 여전히 어려운 사례를 찾을 수 있습니까? 몇 개의 절이 제약 조건을 위반하도록 허용하면 어떻게됩니까?

나는 휴리스틱 솔버가 최악의 경우에 빠질 것이라는 것을 의미한다.

아니요. 3-SAT 인스턴스에 절이 있으면 시간에 만족도를 테스트 할 수 있습니다 . 이후 고정 된 상수는,이 문제의 모든 인스턴스를 해결하는 다항식 시간 알고리즘이다.$m$$O(m 2^N)$$N$

알고리즘은 단계로 작동합니다 . 하자 나타낸다에서만 변수를 사용 조항으로 구성된 공식 . 하자 에 할당 세트를 나타내고 대한 만족 할당으로 확장 될 수 . 주어진 참고 , 우리는 계산할 수 에 시간 : 각각 , 우리는 대한 두 가지 가능성을 시도 하고 변수 를 포함하는 모든 절을 만족하는지 확인$m$$\varphi_i$$x_1,\dots,x_i$$S_i \subseteq \{0,1\}^n$$x_{i-N},x_{i-N+1},\dots,x_i$$\varphi_i$$S_{i-1}$$S_i$$O(2^N)$ X I φ 내가 X I ( X I - N은 , ... , X 나 ) S I 제가 S I m S m ≠ ∅ O ( 2 N ) m의 O ( m 2 N$(x_{i-N-1},\dots,x_{i-1}) \in S_{i-1}$$x_i$$\varphi_i$$x_i$; 그렇다면 에 을 추가 합니다. 에서 일 단계, 우리는 계산 . 모든 단계를 완료 하면 경우에만 3-SAT 인스턴스를 만족할 수 있습니다. 각 단계에는 시간 이 걸리며 단계가 있으므로 총 실행 시간은 입니다. 이것은 입력 크기의 다항식이므로 다항식 시간 알고리즘을 구성합니다.$(x_{i-N},\dots,x_{i})$$S_i$$i$$S_i$$m$$S_m \ne \emptyset$$O(2^N)$$m$$O(m 2^N)$

고정 된 수의 절이 제약 조건을 위반하도록 허용하더라도 다항식 시간으로 문제를 여전히 해결할 수 있습니다. 특히 가 제약 조건을 위반하는 절 수를 계산하는 경우 먼저 해당 절의 변수에 가능한 모든 값을 열거 하여 시간 내에 문제를 해결할 수 있습니다 . 그런 다음 위의 알고리즘을 계속하십시오. 가 고정 상수 일 때 , 이것은 다항식 시간입니다. 보다 효율적인 알고리즘이있을 수 있습니다.O ( m 2 ( t + 1 ) N ) $t$$O(m 2^{(t+1)N})$$t$

SAT 공식의 사건 그래프는 각 절과 각 변수에 대한 정점이있는 이분 그래프입니다. 절과 모든 변수 사이에 모서리를 추가합니다. 인시던트 그래프가 treewidth에 한계를 둔다면 P로 SAT 공식을 결정할 수 있습니다. 실제로 훨씬 더 많은 일을 할 수 있습니다. 사고 그래프는 매우 제한적입니다. 예를 들어, 이는 제한된 경로 폭 그래프이므로 다항식 시간 해결이 가능합니다. 위의 잘 알려진 구조적 결과는 예를 들어 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X07004106을 참조하십시오 .