모노톤 CNF가 모노톤 DNF를 내포하는지 여부를 결정하는 문제

다음 결정 문제를 고려하십시오

입력 : 모노톤 CNF $\Phi$ 및 모노톤 DNF . $\Psi$

질문 : 는 팽팽한가요? $\Phi \to \Psi$

확실히 $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(l))$ 시간 에서이 문제를 해결할 수 있습니다 . 여기서 $n$ 은 의 변수 수 $\Phi \to \Psi$ 이고 $l$ 은 입력 길이입니다. 한편,이 문제는 coNP-complete입니다. 또한,도 세스되지 않는 프로그램을 CONP-완전성을 확립 감소가 전혀 없다 $O(2^{(1/2 - \varepsilon)n} \mathrm{poly}(l))$ 이 문제에 대한 -time 알고리즘 (긍정적 인 $\varepsilon$ ). 여기이 축소가 있습니다. 하자 $A$ A (비 모노톤) CNF하고하자 $x$ 의 변수가 될. 모든 양의 선두로부터 교체 $x$ 하여 $y$ 및 각 음의 선두로부터의 $x$ 에 의해 $z$ . 모든 변수에 대해 동일한 작업을 수행하십시오. 결과 모노톤 CNF를 하자 $\Phi$ . 이 있는지 쉽게 $A$ IFF 만족할이다 $\Phi \to yz \lor \ldots$ 동의어 반복 아니다. 이 감소는 2의 인자만큼 변수의 수를 날려 버립니다. 이는 를 의미합니다 $2^{n/2}$ 상기 언급 된 (SETH- 기반) 하한.

따라서 와 시간 사이에 간격이 있습니다. 내 질문은 더 나은 알고리즘이나 SETH에서 더 나은 축소가 알려져 있는지 여부입니다. $2^{n/2}$ $2^n$

문제와 관련이있는 것처럼 보이는 두 가지 언급 만 있습니다.

모노톤 DNF가 모노톤 CNF를 암시하는지의 역 문제는 다항식 시간에서 사소하게 해결 될 수있다.
흥미롭게도, 와 가 동일한 함수를 계산 하는지를 결정하는 문제는 Fredman과 Khachiyan으로 인해 준 다항식 시간에 해결 될 수 있습니다 (단일 톤 분리 정규형의 이중화 복잡성, Journal of Algorithms 21 (1996), 3 번). , 618–628 페이지, doi : 10.1006 / jagm.1996.0062 ) $\Phi$ $\Psi$

exp-time-algorithms boolean-formulas fine-grained

— 사샤 코자 친 스키
소스

SETH를 가정하면 문제는 시간 에서 해결할 수 없습니다 모든 대. $O\bigl(2^{(1-\epsilon)n}\mathrm{poly}(l)\bigr)$ $\epsilon>0$

먼저, 와 가 임의의 모노톤 공식 일 수 있는보다 일반적인 문제에 대해서는 이것이 사실임을 보여 드리겠습니다 . 이 경우 TAUT에서 변수의 수를 보존하는 문제로의 poly-time ctt 감소가 있습니다. 렛츠 임계 값 기능을 나타낸다 $\Phi$ $\Psi$ $T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})$ Ajtai–Komlós–Szemerédi 분류 네트워크를 사용하여 는 시간구성 할 수있는 다항식 크기의 모노톤 공식으로 작성할 수 있습니다.

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) = 1 ⟺ | {i < n : x_{i} = 1} | \geq t .

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})=1\iff\bigl|\{i<n:x_i=1\}\bigr|\ge t.$

T_{t}^{n}

$T^n_t$

p o l y (n)

$\mathrm{poly}(n)$

불리언 공식 주어지면 De Morgan 규칙을 사용하여 형식으로 쓸 수 있습니다. 여기서, 는 모노톤 그런 다음 $\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, \neg x_{0}, \dots, \neg x_{n - 1}),

$\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},\neg x_0,\dots,\neg x_{n-1}),$

ϕ^{'}

$\phi'$

은 단조의 의미

ϕ (x_{0}, \dots, x_{n - 1})

$\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

모든

유효하며, 여기서

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) \to ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, N_{0}, \dots, N_{n - 1})

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})\to\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

t \leq n

$t\le n$

N_{i} = T_{t}^{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_{n - 1}) .

$N_i=T^{n-1}_t(x_0,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n-1}).$

왼쪽에서 오른쪽으로의 의미를 위해, 가 만족시키는 , 즉 적어도 것을 갖는 할당 이라고하자 . 이 존재 와 정확하게 사람. 그러면 , 따라서 의미 $e$ $T^n_t$ $t$ $e'\le e$ $t$ $e'\models N_i\leftrightarrow\neg x_i$ $e'\models\phi$ . 이것은 모노톤 공식이므로 도 갖습니다. 오른쪽에서 왼쪽으로의 의미는 비슷합니다. $e'\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$ $e\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

이제 원래 문제로 돌아가 보겠습니다. 문제를 시간 에서 해결할 수있는 경우 에 -DNF-TAUT (또는 이중으로 -SAT)를 시간 에서 해결할 수있는 경우 $2^{\delta n}\mathrm{poly}(l)$ $k$ $k$ $k$ . SETH가 유지되면의미합니다. $2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}\mathrm{poly}(l)$ $\delta\ge1$

따라서, 우리는 주어진 것으로 가정 -DNF 여기서 각 . 우리는 변수를 크기가 블록 으로 나눕니다. $k$

ϕ = \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} \neg x_{j}),

$\phi=\bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}\neg x_j\Bigr),$

| A_{i} | + | B_{i} | \leq k

$|A_i|+|B_i|\le k$

i

$i$

n

$n$

n^{'} = n / b

$n'=n/b$

b \approx \sqrt{k^{- 1} n \log n}

$b\approx\sqrt{k^{-1}n\log n}$

ϕ

$\phi$

\begin{matrix} (*) & \underset{u < n^{'}}{⋀} T_{t_{u}}^{b} (x_{b u}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) \to \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} N_{j}) \end{matrix}

$\tag{$*$}\bigwedge_{u<n'}T^b_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{b(u+1)-1})\to \bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}N_j\Bigr)$

n^{'}

$n'$ -tuple

t_{0}, \dots, t_{n^{'} - 1} \in [0, b]

$t_0,\dots,t_{n'-1}\in[0,b]$ , where for any

j = b u + j^{'}

$j=bu+j'$ ,

0 \leq j^{'} < b

$0\le j'<b$ , we define

N_{j} = T_{t_{u}}^{b - 1} (x_{b u}, \dots, x_{b u + j^{'} - 1}, x_{b u + j^{'} + 1}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) .

$N_j=T^{b-1}_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{bu+j'-1},x_{bu+j'+1},\dots,x_{b(u+1)-1}).$ We can write

T_{t}^{b}

$T^b_{t}$ as a monotone CNF of size

O (2^{b})

$O(2^b)$ , hence the LHS of

(*)

$(*)$ is a monotone CNF of size

O (n 2^{b})

$O(n2^b)$ . On the right-hand side, we may write

N_{j}

$N_j$ as a monotone DNF of size

O (2^{b})

$O(2^b)$ . Thus, using distributivity, each disjunct of the RHS can be written as a monotone DNF of size

O (2^{k b})

$O(2^{kb})$ , and the whole RHS is a DNF of size

O (l 2^{k b})

$O(l2^{kb})$ . It follows that

(*)

$(*)$ is an instance of our problem of size

O (l 2^{O (k b)})

$O(l2^{O(kb)})$ in

n

$n$ variables. By assumption, we may check its validity in time

O (2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)})

$O(2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)})$ . We repeat this check for all

b^{n^{'}}

$b^{n'}$ choices of

\vec{t}

$\vec t$ , thus the total time is

O ((b + 1)^{n / b} 2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)}) = O (2^{δ n + O (\sqrt{k n \log n})} l^{O (1)})

$O\bigl((b+1)^{n/b}2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)}\bigr)=O\bigl(2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}l^{O(1)}\bigr)$ as claimed.

We get a tighter connection with the (S)ETH by considering the bounded-width version of the problem: for any $k\ge3$ , let $k$ -MonImp denote the restriction of the problem where $\Phi$ is a $k$ -CNF, and $\Psi$ is a $k$ -DNF. The (S)ETH concerns the constants

\begin{aligned} s_{k} & = inf {δ : k - S A T \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty} & = sup {s_{k} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{SAT}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s_\infty&=\sup\{s_k:k\ge3\}. \end{align*}$ Likewise, let us define

\begin{aligned} s_{k}^{'} & = inf {δ : k - M o n I m p \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty}^{'} & = sup {s_{k}^{'} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s'_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{MonImp}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s'_\infty&=\sup\{s'_k:k\ge3\}. \end{align*}$ Clearly,

s_{3}^{'} \leq s_{4}^{'} \leq \dots \leq s_{\infty}^{'} \leq 1

$s'_3\le s'_4\le\dots\le s'_\infty\le1$ as in the SAT case. We also have

s_{k}^{'} \leq s_{k},

$s'_k\le s_k,$ and the double-variable reduction in the question shows

s_{k} \leq 2 s_{k}^{'} .

$s_k\le2s'_k.$ Now, if we apply the construction above with constant block-size

b

$b$ , we obtain

s_{k} \leq s_{b k}^{'} + \frac{\log (b + 1)}{b},

$s_k\le s'_{bk}+\frac{\log(b+1)}b,$ hence

s_{\infty} = s_{\infty}^{'} .

$s_\infty=s'_\infty.$ In particular, SETH is equivalent to

s_{\infty}^{'} = 1

$s'_\infty=1$ , and ETH is equivalent to

s_{k}^{'} > 0

$s'_k>0$ for all

k \geq 3

$k\ge3$ .

— Emil Jeřábek supports Monica
소스

Thank you for your answer! I'm curious whether it is possible to make

Φ

$\Phi$ and

Ψ

$\Psi$ constant-depth in this construction? Namely, I'm not aware whether subexponential-size constant-depth monotone Boolean formulas (or even non-monotone circuits) are known for

T_{k}^{n}

$T^n_k$ (in particular for Majority)? Of course there is a

2^{n^{Ω (1 / d)}}

$2^{n^{\Omega(1/d)}}$ lower bound for depth-

d

$d$ , but, say,

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ size would be OK.

— Sasha Kozachinskiy

T_{k}^{n}

$T^n_k$ , and in general anything computable by polynomial-size formulas (i.e., in NC^1), has depth-

d

$d$ circuits of size

2^{n^{O (1 / d)}}

$2^{n^{O(1/d)}}$ . See e.g. cstheory.stackexchange.com/q/14700 . I will have to think if you can make them monotone, but it sounds plausible.

— Emil Jeřábek supports Monica

OK. First, the generic construction works fine in the monotone setting: if a function has poly-size monotone formulas, it has depth-

d

$d$ monotone circuits of size

2^{n^{O (1 / d)}} p o l y (n)

$2^{n^{O(1/d)}}\mathrm{poly}(n)$ for any

d \geq 2

$d\ge2$ . Second, for

T_{k}^{n}

$T^n_k$ specifically, it is easy to construct monotone depth-

3

$3$ circuits of size

2^{O (\sqrt{n \log n})}

$2^{O(\sqrt{n\log n})}$ by splitting the input into blocks of size

Θ (\sqrt{n \log n})

$\Theta(\sqrt{n\log n})$ .

— Emil Jeřábek supports Monica

Actually, pushing this idea a little bit more, it does provide an answer to the original question: assuming SETH, the lower bound holds already for

Φ

$\Phi$ monotone CNF and

Ψ

$\Psi$ monotone DNF. I will write it up later.

— Emil Jeřábek supports Monica

I would guess that you can divide all the variables into about

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ blocks

x^{1}, \dots x^{\sqrt{n}}

$x^1, \ldots x^{\sqrt{n}}$ and then write

T_{k_{1}}^{\sqrt{n}} (x^{1}) \land \dots \land T_{k_{\sqrt{n}}}^{\sqrt{n}} (x^{\sqrt{n}}) \to ϕ^{'}

$T^{\sqrt{n}}_{k_1}(x^1)\land \ldots \land T^{\sqrt{n}}_{k_\sqrt{n}}(x^{\sqrt{n}}) \to \phi^\prime$ for every

k_{1} + \dots + k_{\sqrt{n}} \leq n

$k_1 + \ldots + k_{\sqrt{n}} \le n$ . You can use

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ -size CNF for every threshold function. But then on a right hand side you will have not DNF but a depth-3 formula...

— Sasha Kozachinskiy