회로의 복잡성과 기능을위한 계층 부울 회로 얼마나 작은 일 수

함수를 고려 부울 회로에 의해 계산 된 와 크기의 입력 에 기초하여 위에 합니다 (대 indegree 2 게이트). $f$ $C$ $n$ $s(n) = \mathsf{poly}(n)$ $\{\mathsf{XOR},\mathsf{AND},\mathsf{NOT}\}$ $\mathsf{XOR},\mathsf{AND}$

부울 회로가되는 계층 은으로 배열 될 수 있는지 (층 2 개의 게이트 사이의 에지는 인접한 층에 연결되도록 상기 회로의 깊이 인) 게이트. $d$ $d$

점을 감안 크기의 부울 회로가 우리가 계층화 된 회로 계산의 크기에 대해 말할 수있는, ? 사소한 상한이 있습니다 . 가장자리를 가로 지르는 각 레이어에서 더미 노드를 에 추가하면 최대 크기의 레이어 회로를 얻을 수 있습니다. 그러나 일반적으로 (예 : , ), 또는 흥미로운 회로 등급을 위해 더 나아질 수 있습니까? $f$ $s$ $f$ $C$ $O(s^2)$ $O(s\cdot \log s)$ $O(s)$

배경. 이 질문에 안전하게 컴퓨팅 크기 부울 회로 적층 방법을 보여 암호화 최근 결과에서 유래 통신과 (예를 들어 또는 ; 일반 회로 또는 "자연"회로에 대해 계층 형 부울 회로에 대한 이러한 제한이 실제로 얼마나 제한적인지 이해하려고합니다. 그러나 나는 문헌에서 계층 회로에 대해 많이 찾지 못했다. 적절한 포인터도 환영합니다. $s$ $o(s)$ $s/\log s$ $s/\log\log s)$

circuit-complexity circuits

— 제 프로이 쿠토
소스

다음은 크기가 크게 증가하지 않고 계층 회로로 변환하기 어려운 회로의 예입니다. 정의

의 크기가 계산 될 수있는 몇 가지 기능으로

. 정의

f : {0, 1}^{n - 1} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^{n-1} \to \{0,1\}$

u

$u$

, 및하자

될

의 반복

. 그런 다음

크기는

입니다. 크기가

보다 작은 계층 회로를 구축하는 것은 어려운 것처럼 보인다. 따라서

인 경우 회로 크기와 계층 회로 크기 사이의 간격을 예상해야합니다. 증거가 아니라 직관을 이끄는 암시적인 예일뿐입니다.

g (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{2}, \dots, x_{n}, x_{1} \oplus f (x_{2}, \dots, x_{n}))

$g(x_1,\dots,x_n) = (x_2,\dots,x_n,x_1 \oplus f(x_2,\dots,x_n))$

C

$C$

t

$t$

g

$g$

C

$C$

O (t u)

$O(tu)$

Θ (n t)

$\Theta(nt)$

u = o (n)

$u=o(n)$

— DW

내가 기억하는 한, 계층 회로의 경우 가장 잘 알려진 하한은

입니다.

대

함수 를 증명하는 것이 특히 쉽습니다 . 선형지도 예를 들어 보자

여기서

기본 대각선 만에 제로를 갖는다. 그런 다음 모든 레이어에 적어도

게이트 가 있어야하며 레이어 수는

이상 입니다. 이 기능을 용이하게 크기의 일정한 회로에 의해 계산 될 수 있음을 유의

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

n

$n$

n

$n$

A x

$Ax$

A \in {0, 1}^{n \times n}

$A \in \{0,1\}^{n \times n}$

n

$n$

\log_{2} n

$\log_2 n$

. 단일 출력 함수의 경우 동일한 하한을 증명하는 것도 가능하지만 인수를 기억하지 못합니다.

O (n)

$O(n)$

— Alexander S. Kulikov

댓글 주셔서 감사합니다. @ AlexanderS.Kulikov는 논쟁의 여지가 있습니까? 아니면 계층 회로에서 작동하는 포인터가 있습니까?

의미가 - 나는 작은 무언가에 의해 매우 놀라운 일이었을 것이다 - 그러나입니다

유일한 상한가 알려져?

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Geoffroy Couteau

나는 그것이 민속이라고 생각합니다.

상한 에 대한 질문이 확실하지 않습니다 . 다음과 같은 용지를 한 번 봐 걸릴 수도 있습니다 cs.utexas.edu/~panni/sizedepth.pdf

O (n^{2})

$O(n^2)$

— 알렉산더 S. Kulikov 보낸

우리는 일반적으로

변환 보다 나은 것을 알지 못한다고 생각합니다 . 크기의 회로 유의

깊이

최대 크기의 적층 회로로 변환 될 수

. (가장 최악의 경우 우리에게 크기

회로를 제공하는 것 입니다.) 방금 계층 회로의 크기에서

의 하한을 증명할 수 있다면 이것은 다음과 같습니다. 이 함수에 대한 로그 깊이 회로의 크기에 대한 슈퍼 선형 하한을 제공하십시오. 이 질문은 40 년 이상 열려 있습니다.

O (s^{2})

$O(s^2)$

s

$s$

d

$d$

d s

$ds$

O (s^{2})

$O(s^2)$

ω (n \log n)

$\omega(n\log{n})$

— Alex Golovnev

내가 아는 한, 3 가지 종류의 계층 회로가 연구되었다. 이러한 모든 정의에서 호는 두 개의 인접한 레이어 사이에서만 허용됩니다.

모든 게이트가 레이어로 배열되고 입력이 레이어 0에 있어야하는 경우 회로를 동기식 ( Harper 1977 ) 이라고 합니다 ( 동일한 정의 : 모든 게이트 $g$ 에 대해 입력에서 $g$ 까지의 모든 경로의 길이는 동일 함).
각 입력이 정확히 한 번만 임의의 레이어에서 발생하면 회로는 로컬에서 동기화됩니다 ( Belaga 1984 ).
$g$ $o$ $g$ $o$

세 개의 클래스가 가장 약한 클래스에서 가장 강한 클래스로 나열되는 것을 쉽게 알 수 있습니다 (그리고 무제한 회로의 클래스는 훨씬 더 강합니다).

$s$

$s$ $s^2$
$\omega(s\log{s})$ $s$ $d$ $O(sd)$ $f$ $\omega(n\log{n})$ $f$ $O(\log{n})$ $O(n)$
명시적인 기능이 있습니다

$\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

$\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

$n$

$f\colon\{0,1\}^n\to\{0,1\}^n$ $i$ $i$ $O(n)$ $\log{n}$ $n$ $n$ $f$ $\Omega(n\log{n})$ $n-1$ $\Omega(\log{n})$ $n$ $n$

— 알렉스 골로 네프
소스