DSPACE (n) = DSPACE (1.5n)입니까?

공간 계층 정리에서 가 공간 구성 가능한 경우 DSPACE ( )가 DSPACE ( 과 같지 않다는 것이 알려져 있습니다.$f$2 f ( n ) f ( n ) )$2f(n)$$f(n))$

여기서 DSPACE ( 나는 고정 알파벳이있는 튜링 머신에 의해 공간 에서 해결할 수있는 모든 문제의 클래스를 의미합니다 . 이를 통해 이러한 정확도로 공간 계층 정리를 고려할 수 있습니다.$f(n))$$f(n)$

표준 인수는 곱셈 상수 제공합니다 . 우리 는 보편적으로 하나의 튜링 기계의 계산을 구성하기 위해 공간 필요합니다 . 또한 정지 문제를 해결 하려면 이 필요합니다 .$2$$f(n)$$f(n)$

질문 : IS 인 DSpace ( $f(n)$ )와 동일 인 DSpace ( $\frac{3}{2}f(n)$)?

이 증명 될 수있는 인 DSpace $(f(\frac 32 n))\ne$ 인 DSpace$(f(n))$경우$f$표준 패딩 인자의 단순한 변형을 사용하여 선형 적어도 자란다. 언어$L$경우$L'=\{x0^{|x|/2}\mid x\in L\}$.

청구. $L\in$ DSPACE $(f(n))$ 경우에만 $L'\in$ DSPACE $(f(\frac 23n))$의 경우$f(n)\ge \frac 32n$.

(이 문제를 발견 한 Emil 덕분에 첫 번째 답변에 몇 가지 잘못된 진술이있었습니다.)

먼저 클레임을 사용하여 계층 구조를 증명하는 방법을 보여 드리겠습니다. 이후 $f$ 선형 적어도 성장, 우리가 인 DSpace $(2f(n))\subset$ 인 DSpace $(f(2n))$ . 언어 받아 $L\in$ 인 DSpace $(f(2n))\setminus$ 인 DSpace $(f(n))$ . 주장을 사용하여 $L'\in$ DSPACE $(f(\frac 43 n))=$ DSPACE$(f(n))$, 마지막 평등은 간접 가정에 의한 것입니다. 그러나$L\in$DSPACE$(f(\frac 32 n))=$ DSPACE$(f(n))$, 여기서 마지막 평등은 간접 가정에 의해 다시 모순되어 모순을줍니다.

주장의 증거. 만약 $L'\in$ 인 DSpace $(f(\frac 23 n))$, 다음을 증명하는$L\in$인 DSpace$(f(n))$, 우리가 단지 쓸 필요가$|x|/2$0은 입력$x$의 끝에$L'$을 받아 들인 기계를 시뮬레이트합니다. 이후$f(n)\ge \frac 32 n$, 이것은 우리가 사용하는 공간을 늘리지 않습니다. (실제로,$f$가 작고 알파벳 크기를 늘릴 수없는경우 쓰기 0의 수를 아는 것은 전혀 명확하지 않습니다. 대신 다른 테이프를 사용하여$x$끝 이후에 오는 모든 것을 쓸 수 있습니다.)

다른 방향은 우리가 *를 쓸 수 있다면 0을 *로 대체하여 간단합니다. (질문에 대한 내 의견에서 이것으로 문제를 참조하십시오.) 별을 쓸 수 없다면 $L'$ 의 정의 를 $L'=\{x10^{|x|/2}\mid x\in L\}$ . 이제 별을 쓰는 대신 원래 입력을 유지합니다 $x10^{|x|/2}$그걸로 작업하십시오. 그러나 우리가 1에 도달 할 때마다, 우리는 단어 끝 1인지 아닌지를 확인하기 위해 다른 1을 칠 때까지 바로갑니다. 우리가 다른 1을 찾았다면, 우리는 단지 1로 돌아갑니다. 우리가 아직 없으면, 우리는 여전히 돌아가지만, 별으로 취급되어야한다는 것을 알게 될 것입니다. 또한 새로운 단어 끝 마커를 갖도록 10을 쓴다. (실제로, $f$ 가 작 으면 이 부분에 작은 캐치가 있습니다. 입력이 $x10^{|x|/2}$ 형식인지 어떻게 확인할 수 있습니까? 입력을 파괴하지 않고 여러 헤드를 사용해야 만 해결할 수 있습니다 작은 $f$ .)