P와 설명의 복잡성

복잡성 동물원에서는 말한다 [ 1 ], 기술적 복잡성, 즉 $P$ 식의 세 가지 종류로 정의 될 수 있고, $FO(LFP)$ 도 $FO(n^{O(1)})$ , 및 또한 $SO(HORN)$ .

그러나, 예를 들어 몇 가지 예외가 있는데, $Evenness$ (FP가 LFP와 같은 표현력을 갖는다) FP로 표현 될 수 없다. $Connectivity$ 및 $2-colourability$ 는 1 차 논리로 정의 할 수 없습니다. 일부 문제는 과 같은 유한 한 변수로 축약 화 될 수 없습니다 $Evenness$ , $Perfect~Matching$ , $Hamiltonicity$ .

Immerman은 Fixed Point Logic + Counting (FPC)이 P를 캡처하기위한 가능한 논리 일 수 있다고 제안했습니다.

그러나 Immerman의 Cai Furer는 FPC에서 표현할 수없는 다항식 시간 그래프 특성이 있음을 보여주었습니다 [ 2 ]. 두 요소 필드에 대해 선형 방정식을 푸는 문제는 카운팅 [ 3 ]을 갖는 무한 논리에서 정의 할 수 없습니다 . 자세한 내용은 [ 4 ]를 참조하십시오.

그렇다면 일반적으로 P를 캡처 할 수있는 논리 구조는 무엇입니까? 긍정적 인 대답은 Immerman [ 5 ] 및 Vardi [ 6 ]에 의해 P로 결정될 수있는 경우에 최소 고정 소수점 논리에서 순서화 된 유한 구조의 클래스를 정의 할 수 있다는 것입니다 . 순서가없는 경우는 어떻습니까? 복잡성 동물원에서 그 진술에 대한 더 많은 반례를 보여줄 수 있습니까?

lo.logic polynomial-time descriptive-complexity

— 루페이 쉬
소스

다음은이 특정 질문에 대한 결과의 개요를 제공하는 자습서입니다. cl.cam.ac.uk/~ad260/talks/wollic-tutorial.pdf

— Denis

@Denis 감사합니다, Denis! 이 튜토리얼에는 P에 대한 더 많은 논리 구조가 포함되어 있습니다. 전통적으로 우리가 문제에 대해 이야기 할 때 다항식 시간을 풀 수 있다는 것은 "쉬운"것이라고 생각합니다. 그러나 P의 논리 구조는 매우 복잡해 보이지만 아직 알려지지 않은 경우가 많고 개방형 문제가 있습니다.

— Rupei Xu 2019

그렇습니다. "쉬운"문제 세트 (예 : P)는 잘 구조화되어 있지 않으며 "쉬운 문제는 기본 문제 A, B에서 얻을 수있는 문제입니다. C, X, Y 방식으로 결합 " 다른 종류의 더 쉬운 문제가 항상 있으며 새로운 아이디어가 담긴 영리한 다항식 알고리즘이 필요합니다.

— Denis

Martin Grohe는 최근이 질문에 상당한 진전을 보였습니다. : 그는 고정 된 표면에 임베드 그래프의 클래스를 다항식 시간을 캡처하는 논리를 제공 https://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2371656.2371662 : 편집 일반적인 경우가 해결되지 않은 것 같다 (그러나 나는 결코입니다 이것에 대한 전문가).

— 헤르만 그루버
소스

예. 유명한 Courcelle의 정리와 같은 알고리즘 적 메타 정리 결과가 많은 경우가 쉬운 경우를 포착 할 수 있습니다. 다음 링크는 훌륭한 설문지입니다. people.cs.umass.edu/~immerman/pub/… 그러나 이러한 결과에는 트리, 경계 트리 폭, 평면 그래프, 마이너 클로즈드 그래프 등 문제가 발생하는 그래프 구조에 대한 제한도 있습니다. 완전한 논리 구조는 지금까지 순서없이 일반 그래프에서 P를 캡처 할 수 없습니다.

— Rupei Xu

Grohe의 작업은 매우 특별하다고 생각합니다.이 경우 논리는 상당히 큰 그래프 클래스에서 P를 모두 소모합니다. 즉, 반례가 없습니다. 내가 제대로 이해했다면 철저한 것이 어려운 부분입니다. 언급 한 MSO 결과에이 기능이없는 것 같습니다. 그러나 나는이 점에 대한 나의 전문 지식이 매우 제한되어 있습니다.

— 헤르만 그루버