그룹 동형 형성 문제의 가장 어려운 사례는 무엇입니까?

두 그룹 과 는 에서 로 동형이 존재하는 경우 이형 적이라고 말합니다 . 그룹 동형 문제는 다음과 같습니다. 두 그룹이 주어지면 동형인지 여부를 확인하십시오. 그룹을 입력하는 방법에는 여러 가지가 있으며, 주로 사용되는 두 가지 방법은 Cayley 테이블과 생성 세트입니다. 여기에서는 입력 그룹이 Cayley 테이블에 의해 제공된다고 가정합니다. 더 공식적으로 :$(G,\cdot)$$(H, \times)$$G$$H$

$\textbf{Group Isomorphism Problem}$

$\textbf{Input : }$ 두 그룹$(G,\cdot)$ 과$(H,\times)$ .

$\textbf{Decide : }$ 입니다$G \cong H$ ?

우리가 가정하자 $n = |G| = |H|$

입력 그룹에 Cayley 테이블이 제공 될 때 그룹 동형 문제 는 일반적으로 $\textbf{P}$ 에 있는 것으로 알려져 있지 않습니다 . 문제가 다항식 시간으로 알려진 아벨 리아 그룹 클래스와 같은 그룹 클래스가 있지만, 아벨 리아 그룹의 확장 인 그룹, 간단한 그룹 등이 있습니다. 모두 다 아는.

그룹 동 형사상에 대한 무차별 대입 알고리즘은 Tarjan에 의해 제공되며, 이는 다음과 같습니다. 하자 와 두 입력 그룹이며하자 그룹의 세트로 생성 . 모든 유한 그룹이 크기 의 생성 세트를 허용하고 다항식 시간에서 찾을 수 있다는 것은 잘 알려진 사실입니다 . 에서 로의 동질성에서 생성 세트 의 이미지의 수 는 많은 것이다. 이제 각 가능한 동질성이 형용인지 아닌지 확인하십시오. 전체 런타임은 입니다.$G$$H$$S$$G$$\mathcal{O}(\log n)$$S$$G$$H$$n^{\log n}$$n^{\log n + \mathcal{O}(1)}$

먼저 그룹 $G$ 의 중심을 정의하겠습니다 .

$Z(G)$ 그룹의 요소이고 되는 그룹의 다른 모든 요소 통근 . 어느 그룹 (/ 몫 사용)이있다 아벨은 nilpotent 클래스 두 그룹으로 알려져있다. 나에게는 전능 한 클래스 두 그룹이 그룹 동형 문제를 해결하기 가장 어려운 사례 인 것으로 보입니다. "가장 어려운 사례"의 의미는 다음과 같습니다.이 사례를 해결하면 그룹 이론을 연구하는 연구자들이 많은 그룹의 동 형사상 문제를 해결할 수 있습니다.$G$$G$$G/Z(G)$

처음에는 단순 그룹이 모든 그룹의 빌딩 블록이므로 가장 어려운 인스턴스라고 생각했지만 나중에 단순 그룹의 동 형사상 문제가 되었습니다 .$\textbf{P}$

질문 : 그룹 동형 형성 문제에서 가장 어려운 사례는 무엇입니까?

$p$클래스 2의 p- 그룹 및 지수$p$ 는 그룹 이소 형성의 가장 어려운 경우 인 것으로 널리 알려져있다 ($p > 2$ ). ($p=2$ , 지수 2의 모든 그룹은 독자에게 무의식적 인 쉬운 운동이기 때문에 지수 4를 고려해야합니다.) GpIso에서이 등급의 그룹으로의 감소는 아직 없지만 (아래 0.5 지점 참조) )에 대한 몇 가지 이유가 있습니다. 여기에 그들 중 일부를 설명하겠습니다.

0) 실무 경험 (Gap 및 MAGMA에서 구현되는 알고리즘을 제공하는 Newman, Eick, O'Brien, Holt, Cannon, Wilson 등의 논문 참조)

0.5) [편집 : 8/7/19 추가] 축소. 이러한 경우 $p$ -groups이 위에 행렬들의 세트를 생성함으로써 주어진 $\mathbb{F}_p$ , 문제는 $\mathsf{TI}$ - 완전한 [ G.-아오는 '19 ]. 또한 (아래 (4) 항 참조), $p$ 지수 $p$ 의 p- 그룹 및 $c < p$ 동형이 $p$ 지수 $p$ 의 p- 그룹 과 클래스 2 의 동형으로 감소합니다 (ibid.).

1) 구조 (해결 가능하게 한 다음 $p$ 그룹으로 줄이십시오). 모든 유한 그룹은 $Rad(G)$ 로 표시되는, 풀릴 수있는 라디칼이라고하는 고유 한 최대의 풀 수있는 정상 서브 그룹을 포함합니다 . $G/Rad(G)$ 는 아벨 리아 정상 부분 군을 포함하지 않으며, 그러한 군의 동형은 실제로 ( Cannon-Holt J. Symb. Comput. 2003 ) 이론적으로 ( Babai-Codenotti-Qiao ICALP 2012 ) 효율적으로 처리 될 수 있습니다 . $Rad(G)$ 가 abelian 인 그룹의 경우에도 이들 중 일부는 n 에서 처리 될 수 있습니다.$n^{O(\log \log n)}$ 시간 (G-Qiao CCC '14, SICOMP '17)-다항식은 아니지만$n^{\log n}$ 보다 훨씬 가깝습니다. 따라서 주된 장애물은 해결할 수있는 (정상 하위) 그룹으로 보입니다. 이제, 풀릴 수있는 그룹 내에는 모든 해결 가능한 그룹이Sylowp하위그룹의편물 인사실부터 시작하여 많은 구조가 있으며, 가장 어려운 경우는p그룹 인것 같습니다.$p$$p$

2) 계산. 차수 $n$ 의 그룹 수 는 $\leq n^{(\frac{2}{27} + o(1))\mu(n)^2}$, 여기서$\mu(n)$은 소수 분할$n$의 가장 큰 지수입니다(Pyber 1993). 들의 수$p$차수 -groups$n=p^m$이상이고$p^{(\frac{2}{27} + o(1))m^2}$(히 그먼 1960). 따라서 지수에서 주요 항의 계수가 일치 함을 알 수 있습니다. 이런 의미에서 "대부분의"그룹은$p$그룹 (클래스 2 및 지수$p$)입니다. 앞의 약한 의미에서 "대부분의"주문 그룹의 비율 말할 강화 될 수 있다고 말한다 오랜 추측이$\leq n$이다$p$-groups 같이 한 경향이$n \to \infty$.

3) 보편성 (/ 야생). $p$ 그룹 의 분류를 제공하는 것은 특성 $p$ 에서 임의의 유한 그룹 (또는 심지어 대수학 대수학)의 모든 모듈 식 표현의 분류를 의미합니다 ( Sergeichuk 1977 ).

4) 유연성. 왜 클래스 2의 $p$ 그룹이 아닌 상위 클래스입니까? (참고 $p$ , "작은 coclass에"소위 거의-최대 클래스의 -groups은 본질적으로 분류 된, Eick 및 Leedham 그린 2006 년 , 몇 가지 답변은 참조 여기에 .) 어느 한 $p$-그룹 1은 등급 Lie 링을 연관시킬 수 있으며, 여기서 Lie 링의 브래킷은 그룹의 정류자에 해당합니다. 그룹의 연관성은 브래킷의 Jacobi 정체성을 암시하여 진정한 Lie 링을 생성합니다. 그러나 그룹이 클래스 2 인 경우 Jacobi ID는 사소하게 만족되며 (모든 용어가 자동으로 0 임) 구조에 추가 제한이 없습니다. 기본적으로 임의의 비대칭 쌍 선형 맵에 해당합니다. 들면 $p$ 지수 -groups $p$ , 환원도있다 클래스에서 $c < p$ 클래스 2는.