엄격한 양성의 배후에있는 직관?

누군가 유도 데이터 유형의 엄격한 양성이 강력한 정규화를 보장하는 이유에 대한 직감을 줄 수 있는지 궁금합니다.

분명히, 부정적인 발생이 어떻게 확산으로 이어지는 지 봅니다.

data X where Intro : (X->X) -> X

우리는 다양한 함수를 작성할 수 있습니다.

그러나 나는 우리가 엄격하게 긍정적 인 유도 성 유형 이 발산을 허용 하지 않는다는 것을 어떻게 증명할 수 있는지 궁금합니다 . 즉, 우리가 강력한 정규화의 증거 (논리적 관계 또는 이와 유사한 것을 사용하여)를 구성 할 수있는 유도 조치가 있습니까? 그리고 그러한 증거는 부정적인 사건에 대해 어떻게 분해됩니까? 귀납적 유형의 언어에 대해 강력한 정규화를 나타내는 좋은 참고 자료가 있습니까?

양의 데이터 유형을 가진 유형 시스템의 정규화 인수에 대한 개요를 원하는 것처럼 들립니다. Nax Mendler의 박사 학위 논문 ( http://www.nuprl.org/documents/Mendler/InductiveDefinition.html)을 추천 합니다.

날짜에서 알 수 있듯이 이것은 꽤 고전적인 작품입니다. 기본적인 직관은 서수 $\lambda$ 가 예를 들어 데이터 유형에 대해 양의 유도 성 유형의 모든 요소와 연관 될 수 있다는 것입니다.

Inductive Ord = Zero : Ord | Suc : Ord -> Ord | Lim : (Nat -> Ord) -> Ord

우리는 얻을 것이다 :

여기서 은 일반 형태를 가진 항의 범위입니다. 주의 할 점은이 해석은 도 정상적인 형식 일 때 세 번째 경우에만 정의되므로 정의에 약간의주의가 필요하다는 것입니다.$n$$f\ n$

그런 다음이 서수에 대해 귀납하여 재귀 함수를 정의 할 수 있습니다.

이러한 데이터 유형은 Dybjer ( http://www.cse.chalmers.se/~peterd/papers/Inductive_Families.pdf ) 의 우수한 귀납적 가족 논문에 표시된대로 고전 세트 이론에서 이미 정의 할 수 있습니다 . 그러나 함수 공간이 너무 커서 같은 유형의 해석 에는 실제로 큰 서 수가 필요합니다 .Ord

엄격하게 긍정적 인 유형을 넘어 서기위한 또 다른 좋은 출처는 Ralph Matthes의 박사 학위 논문입니다 : http://d-nb.info/956895891

그는 3 장에서 (엄격한) 긍정적 유형으로 System F의 확장에 대해 논의하고 9 장에서 많은 강력한 정규화 결과를 증명합니다. 3 장에서 논의 된 몇 가지 흥미로운 아이디어가 있습니다.

1. $\rho$$\alpha$$\forall \alpha \forall \beta.\, (\alpha \to \beta) \to \rho \to \rho[\beta/\alpha]$

2. 엄격하게 양수 유형에서 양수 유형으로 이동하면 유도 유형을 더 이상 트리로 볼 수 없습니다 (W 유형 인코딩). 대신, 양성 유도 형의 구성은 이미 그 유형 자체를 정량화하기 때문에 일부 형태의 즉석 성을 도입합니다. 이러한 유형의 시맨틱은 여전히 ​​모노톤 함수의 서수 반복 측면에서 설명 될 수 있기 때문에 다소 경미한 형태의 즉석 성임에 유의하십시오.

3. Matthes는 또한 긍정적 유도 유형의 몇 가지 예를 제공합니다. 특히 흥미로운 것은

   • $\mu.\, 1 + ((\alpha \to \rho) \to \rho)$$\alpha$$\rho$
   • $\mu \alpha \forall \beta.\, (\alpha \to \beta) \to \rho[\beta/\alpha]$$\rho$

$\lambda\mu$

이것이 귀하의 질문에 도움이되기를 바랍니다.