모든 기본 단어 집합이 주요 언어입니까?

단어 와 이 없으면 되도록 단어 를 primitive 라고 합니다. 알파벳 위에있는 모든 기본 단어 의 집합 는 잘 알려진 언어입니다. WLOG 선택할 수 있습니다 .$w$$v$$k > 1$$w = v^k$$Q$$\Sigma$$\Sigma = \{ a,b \}$

모든 언어 및 에 대해 또는 인 경우 언어 이 소수 입니다.$L$$A$$B$$L = A \cdot B$$A = \{\epsilon\}$$B = \{ \epsilon \}$

Q가 프라임입니까?

SAT 솔버의 도움으로 우리가 또는 를 수 있습니다. 에 와 ,하지만 그 이후로 붙어있다.$\{a,b\} \subseteq A$$\{a,b\} \subseteq B$$\{ ababa, babab \} \subset Q$$A$$B$

대답은 '예'입니다. 인수 분해 $Q = A\cdot B$ 가 있다고 가정 합니다.

하나 명 쉽게 관찰이다 와 B는 해체해야한다 (이후에 대한 승 ∈ ∩ B 우리가 얻을 승 2 ∈ Q ). 특히 A , B 중 하나만 ϵ 를 포함 할 수 있습니다 . wlog (다른 경우는 완전히 대칭이므로) ϵ ∈ B 라고 가정 할 수 있습니다 . 그런 다음 a 와 b 는 비어 있지 않은 요소로 고려할 수 없으므로 a , b ∈ A 가 있어야합니다 .$A$$B$$w\in A\cap B$$w^2\in Q$$A,B$$\epsilon$$\epsilon\in B$$a$$b$$a,b\in A$

우리 얻을 그 옆 m의 B N ∈ (와 완전히 유사하게, B의 m N ∈ ) 모든 m , n은 > 0 에 의해 유도 m :$a^mb^n\in A$$b^ma^n\in A$$m,n>0$$m$

들면 $m=1$ 이후 B N ∈ Q 우리 있어야 B가 N = U는 v에 함께 U ∈ , V ∈ B . 이후 유 ≠ ε , V는 있어야 b를 K 일부 K ≤ N . 그러나 만약 K > 0 , 이후 B ∈ 우리 얻을 b를 1 + K ∈ Q 모순. 그래서$ab^n\in Q$$ab^n = uv$$u\in A, v\in B$$u\neq\epsilon$$v$$b^k$$k\le n$$k>0$$b\in A$$b^{1+k}\in Q$$v=\epsilon$ ,$ab^n\in A$ 입니다.

유도 단계 이후 m + 1 B N ∈ Q 우리가 m + 1 개 , B가 N = U는 v에 함께 U ∈ , V ∈ B . 이후 다시 유 ≠ ε , 우리는 하나 가지고 , V는 = 유전율 B를 N 일부 0 < K < m + 1 , 또는 V = B의 K 일부 K <$a^{m+1}b^n\in Q$$a^{m+1}b^n = uv$$u\in A, v\in B$$u\neq\epsilon$$v = a^kb^n$$0<k<m+1$$v=b^k$$k<n$ . 그러나 전자의 경우,유도 가설에 의해$v$ 는 이미$A$ 에 있으므로,$v^2\in Q$ , 모순. 후자의 경우, b ∈ A 로부터 b 1 + k ∈ Q를 얻으므로$k=0$ (즉$v=\epsilon$ )을가져야합니다. 따라서 u = a m + 1 b n ∈ A 입니다.$b\in A$$b^{1+k}\in Q$$u=a^{m+1}b^n\in A$

지금 프리미티브 단어의 일반적인 경우 고려 $r$ 사이에 교대를 및 B , 즉, w는 하나 인 m 1 B N 1 ... m 의 B N S , B의 m 1 N 1 ... B의 m은 s의 N S (위한 R = 2 s − 1 ), a m 1 b n 1 … a m s$a$$b$$w$$a^{m_1}b^{n_1}\ldots a^{m_s}b^{n_s}$$b^{m_1}a^{n_1}\ldots b^{m_s}a^{n_s}$$r=2s-1$$a^{m_1}b^{n_1}\ldots a^{m_{s+1}}$ 또는$b^{m_1}a^{n_1}\ldots b^{m_{s+1}}$ ($r=2s$); r에유도를 사용하여모두$A$있음을 보여줄 수 있습니다. 우리가 지금까지 한 일은 기본 사례r=0과r=1을다루었습니다.$r$$r=0$$r=1$

들어 $r>1$ , 우리의 다른 유도를 사용하는 $m_1$ 의 하나로서 매우 같은 방식으로 작동, $r=1$ 위 :

경우 $m_1=1$ , 그 다음 $w=uv$ 함께 $u\in A, v\in B$ , 이후 $u\neq\epsilon$ , $v$ 보다 적게 갖는 $r$ 교대. 그래서 $v$ (또는 경우에 루트 $v$ 자체 프리미티브되지 않음)에 의 인덕션 가설에 의해 R 않는 상기와 모순에 대한 V = ε . 따라서 w = u ∈ A 입니다.$A$$r$$v=\epsilon$$w=u\in A$

경우 $m_1>1$ 임의의 인수에서, $w=uv$ 함께 $u\neq\epsilon$ , $v$ 적은 교대을 보유하거나 (그 루트에 않는 V = ε 에 유도 가설 R ) 또는 짧은 첫번째 블록 (그 m 1 에 대한 유도 가설에 의해 v = ϵ 가 아니면 루트는 A 에 있습니다. 두 경우 모두 v = ϵ , 즉 w = u ∈ A 가 있어야합니다 .$A$$v=\epsilon$$r$$v=\epsilon$$m_1$$v=\epsilon$$w=u\in A$

의 경우 $Q' := Q\cup\{\epsilon\}$ 다소 복잡하다. 참고로 확실한 물건은 분해 점이다 $Q = A\cdot B$ 모두 와 B는 의 부분 집합이어야 Q ' 와 ∩ B = { ε } . 또한 a , b 는 A ∪ B에 포함되어야합니다 .$A$$B$$Q'$$A\cap B = \{\epsilon\}$$a,b$$A\cup B$

약간의 추가 작업으로 $a$ 와 $b$ 가 동일한 하위 집합에 있어야 함을 알 수 있습니다. 그렇지 않으면 wlog가 $a\in A$ 및 $b\in B$ 라고 가정하십시오 . 우리가 있다고하자 $w\in Q'$ 갖는 적절한 분해를 하는 경우 $w=uv$ 와 $u\in A\setminus\{\epsilon\}$ 및 $v\in B\setminus\{\epsilon\}$ . $ba$ 가 어디 있는지에 따라 두 개의 (대칭) subcase 가 있습니다 ($A$적절한 인수 분해가 없으므로 A 또는$B$ ).

• 경우 $ba\in A$ 다음 B A는 사람 더 적절한 인수가없는 B , ∉의 B를 . 이후 B ∈ A가 의미하는 것 B B ∈ ⋅ B를 , 우리가 얻을 ㄱ ∈ B를 . 결과적으로 b a b 는 A에 있지 않습니다 ( b a b a b a ∈ A$aba$$ba,a\notin B$$aba\in A$$abab\in A\cdot B$$aba\in B$$bab$$A$$bababa\in A\cdot B$ ) 또는$B$ ($abab\in A\cdot B$ 의미 함). 이제$babab$ 라는 단어를 고려하십시오. $bab\notin A\cup B$ 및$abab,baba$ 는 원시적이지않으므로 적절한 인수 분해가 없습니다. 만약$babab\in A$ 그 이후 ㄴ ∈ B$aba\in B$우리는 $(ba)^4\in A\cdot B$ ; 경우 $babab\in B$ , 이후 ∈ 우리 얻을 ( B ) 3 ∈ ⋅ B를 . 따라서 b a b a b ∈ A ⋅ B 를 모순 할 방법이 없습니다 .$a\in A$$(ab)^3\in A\cdot B$$babab\in A\cdot B$
• 케이스 $ba\in B$ 는 완전히 대칭입니다. 간단히 말해서 : $bab$ 는 적절한 인수 분해가없고 $B$ 있을 수 없으므로 $A$ 있어야합니다 . 그러므로 $aba$ 는 $A$ 또는 $B$ 있을 수 없습니다 . 그러므로 $ababa$ 는 적절한 인수 분해가 없지만 $A$ 또는 $B$ 에 모순 될 수 없습니다 .

현재이 시점을 넘어서 진행하는 방법을 잘 모르겠습니다. 위의 주장이 체계적으로 일반화 될 수 있는지 보는 것이 흥미로울 것입니다.