"가장 중요한 차별 비트"문제가 NP 완료입니까?

이것이 제가이 문제를 위해 만든 이름입니다. 나는 그것이 이전에 설명 된 것을 보지 못했습니다. 이 문제에 대한 NP- 완전성 또는 다항식 시간 알고리즘에 대한 증거를 아직 찾지 못했습니다. 숙제 문제가 아닙니다. 이것은 제가 일할 때 겪었던 문제와 관련이 있습니다.

최저 징수 비트

INSTANCE : 비트 벡터를 포함하는 세트 T. 각 비트 벡터의 길이는 정확히 N 비트입니다. 수학의 한 세트에서 기대할 수 있듯이 T의 모든 요소는 고유합니다. 정수 K <N.

질문 : T의 모든 벡터에서 B의 비트를 제외한 모든 비트를 제거 할 때 나머지 짧은 벡터는 모두 최대 K 비트 위치 (즉, [0, N-1] 범위의 정수)의 집합 B가 있습니까? 여전히 독특합니까?

예 1 : 인스턴스 N = 5, T = {00010, 11010, 01101, 00011}, K = 2의 경우 비트 위치 B = {0,3}를 선택할 수 있기 때문에 대답은 '예'입니다. 비트 위치 0이 가장 오른쪽이라는 규칙을 사용하여 비트 위치 번호는 오른쪽에서 왼쪽으로 증가하여 T의 벡터에서 B의 위치를 ​​제외한 모든 비트 위치를 제거합니다. T '= {00, 10, 11, 01}, 그것들은 모두 독특합니다.

예 2 : N = 5, T = {00000, 00001, 00010, 00100}, K = 2. 어떤 두 비트 위치를 선택하더라도 2 비트 벡터는 11과 같지 않으므로 2 비트 벡터 중 2 개 이상은 서로 같을 것입니다.

물론 우리는 N 비트 위치의 크기 K를 갖는 모든 (N choose K) 서브 세트를 열거하고 질문의 조건을 만족시키는 것을 결정함으로써이 문제를 해결할 수있다. 그러나 이는 입력 크기에서 지수입니다.

이 문제는 NP 완료입니다. 3-SAT를 축소 한 증거는 다음과 같습니다.

변수와 m 개의 절이있는 3-SAT 인스턴스를 고려하십시오 . 우리는 길이 2 n + ⌈ log 2의 2 n + 2 m 비트 벡터 ( "행")를 구성 할 것이다$n$$m$$2n + 2m$ , 식별 비트의 최소 수는 있음 N + ⌈ 로그 2 ( N + m ) ⌉ 원본 3-SAT 인스턴스가 만족스러운 경우.$2n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$

처음 비트는 리터럴 { x 1 , ¬ x 1 , x 2 , ¬ x 2 ,에 해당 합니다. . . , X , N 행은 제있는 것, 쌍 올 1 '을 대응하는 문자와 그 부정 전적으로 구성되는 두번째 s는 0 S'. 마지막으로 마지막 ⌈ $2n$ 입니다. 이들 비트에 대해, 상기 제 2 개 m 개의 행이있는 제의 것, 쌍 올 1 대응 절에 포함되는 각 문자를위한, 그리고 상기 제 전적으로 구성된다 0 의. 나머지 2 $\left\{ x_1, \neg x_1, x_2, \neg x_2, ..., x_n, \neg x_n \right\}$$2m$$1$$0$$2n$$1$$0$ 비트는 각 행 쌍을 인덱스로 0 에서 n + m - 1 로 "서명"하는 데 사용되며 이진수로 기록됩니다.$\lceil \log_2(n + m) \rceil$$0$$n+m-1$

$n+m$$\lceil \log_2(n + m) \rceil$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$x_i$$\neg x_i$$i$); 반대로, 이 있다면$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$2n+2m$$x_i$$\neg x_i$$i$$n$

NP- 완전성에 대한 증명 이 이미 제공 되었지만 이 문제는 최소 테스트 세트 문제 ( Gare and Johnson의 [SP6] , 최소 테스트 콜렉션 이라고도 함)라는 알려진 NP- 완전 문제와 동일하다는 점을 지적 할 가치가 있습니다. 문제 ) : 세트의 역할과 위치의 역할을 교환하십시오.