코 히어 런스 공간에는 언제 풀백과 푸시 아웃이 있습니까?

$\newcommand{\symp}{\Bumpeq}$

세트 X 의 일관성 관계 \ symp_X 는 반사적이고 대칭적인 관계입니다. 코 히어 런스 공간은 쌍 (X, \ symp_X) 이며 코 히어 런스 공간 사이 의 형태 f : X \ to Y 는 관계 f \ subseteq X \ times Y 와 같이 모든 (x, y) \ in f 및 (x ', y') \ in f ,$\symp_X$$X$$(X, \symp_X)$$f : X \to Y$$f \subseteq X \times Y$$(x,y) \in f$$(x',y') \in f$

1. 만약 $x \symp_X x'$ 다음 $y \symp_Y y'$ 및
2. 만약 $x \symp_X x'$ 및 $y = y'$ 다음 $x = x'$ .

코 히어 런스 공간의 범주는 데카르트 및 일 측면 폐쇄 형입니다. 이 범주에 대한 풀백 또는 푸시 아웃이 존재하는 시점과 풀백 또는 푸시 아웃에 대한 일부 일관된 유사체가 존재하는 경우 (이 개념이 의미가있는 경우이를 정의하는 방법)를 알고 싶습니다.

이제 일관성 공간에 대해 이퀄라이저를 정의하는 방법을 봅니다. 즉, 제품이 있기 때문에 풀백이 항상 존재합니다. 실제로이 작업을 수행하는 방법을 모르겠습니다 ...

컴포지션은 일반적인 관계형 컴포지션이므로 및 이면 다음을 수행하십시오.f : A → B g : B → $f : A \to B$$g : B \to C$

$f ; g = \{(a,c) \in A \times C \;|\; \exists b \in B.\; (a,b) \in f \land (b,c) \in g\}$

(이 정의에서 실존은 실제로 고유 한 존재를 의미 합니다 . 및 와 같이 가 있다고 가정합니다 . 우리 , 이것은 의미합니다. 그러면 우리는 와 및 을 가지므로 입니다.)B ' ∈ B ( , B ' ) ∈ F ( B ' , C ) ∈ g ≎ B ≎ B에서 B ' B ≎ B에서 B ' ( B , C ) ∈ g ( B ' , C ) ∈ g B = b $b' \in B$$(a,b') \in f$$(b', c) \in g$$a \Bumpeq_A a$$b \Bumpeq_B b'$$b \Bumpeq_B b'$$(b,c) \in g$$(b',c) \in g$$b = b'$

이제 이퀄라이저를 구성합니다. 우리가 간섭 공간이 있다고 가정 및 , 및 morphisms의 . 이제 이퀄라이저 를 다음과 같이 정의하십시오.A B f , g : A → B ( E , e : E → A $A$$B$$f, g : A \to B$$(E, e : E \to A)$

1. 웹의 경우 이것은 와 일치 하는 의 토큰 하위 집합을 선택 합니다 (일관성까지-첫 번째 버전에서는 잘못되었습니다) ) 또는 둘 다 정의되지 않았습니다.E = {∀ b .( a , b ) ∈ f⟹∃ a ′ ≎ A a .( a ' , b ) ∈ g a ∈ A ∧∀ b .( , B ) ∈ g⟹∃ a ′ ≎ A a .( ' , B ) ∈ F }F

   $$E = \left\{ \begin{array}{l|c} & \forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g \\ a \in A & \land \\ & \forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f \\ \end{array} \right\}$$ $A$$f$$g$

2. 에 일관성 관계를 정의하십시오 . 이것은 의 부분 집합 에 대한 일관성 관계의 제한 일뿐 입니다. 이것은 이기 때문에 반사적이고 대칭 적 입니다.≎ E = { ( a , a ' ) ∈ ≎ A|a ∈ E ∧ a ′ ∈ E } A E ≎ $\Bumpeq_E = \{ (a,a') \in \Bumpeq_A \;|\; a \in E \land a' \in E\}$$A$$E$$\Bumpeq_A$

3. 이퀄라이저 맵 는 대각선 .e e : E → A = { ( a , a $e$$e : E \to A = \{(a, a)\;|\;a \in E\}$

첫 번째 증명 버전을 엉망으로 만들었으므로 범용 속성을 명시 적으로 제공합니다. 와 같은 다른 객체 와 형태 가 있다고 가정하자 .X의 m : X → 의 m ; f = m ; $X$$m : X \to A$$m;f = m;g$

이제 를 . 분명히 이지만, 동등성을 나타내려면 컨버스 를 표시해야합니다 .h : X → E { ( x , a $h : X \to E$|a ∈ E } h ; i ⊆ m m ⊆ h ; $\{(x,a) \;|\; a \in E\}$$h;i \subseteq m$$m \subseteq h;i$

따라서 이라고 가정하십시오 . 이제 및 .( x , a ) ∈ m ∀ b $(x,a) \in m$( a , b ) ∈ f⟹∃ a ′ ≎ A a .( a ' , b ) ∈ g ∀ b $\forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g$$\forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f$

먼저 및 . 따라서 및 이므로 입니다. 따라서 이므로 및 와 같은 있습니다. 이므로 알고 있으므로 와 같은 있습니다.b ∈ B ( a , b ) ∈ f ( x , a ) ∈ m ( a , b ) ∈ f ( x , $b \in B$$(a,b) \in f$$(x,a) \in m$$(a,b) \in f$ ) ∈ m ; f ( x , b ) ∈ m ; g a ′ ∈ A ( x , a ′ ) ∈ m ( a ′ , b ) $(x,b) \in m;f$$(x,b) \in m;g$$a' \in A$$(x,a') \in m$g (X) ≎ X ≎ ' ' ≎ ( ' , B ) ∈ $(a',b) \in g$$x \Bumpeq x$$a \Bumpeq a'$$a' \Bumpeq a$$(a',b) \in g$

대칭 적으로 및 . 따라서 및 이므로 입니다. 따라서 이므로 및 와 같은 있습니다. 이후 , 우리가 알고 발견하고, 따라서 거기 되도록 .B ∈ B ( , B ) ∈ g ( X , ) ∈ m ( , B ) ∈ g ( X , B ) ∈ m ; g ( x , b ) ∈ m ; f a ′ ∈ A ( x , a ′ ) ∈ m ( a ′ , b ) $b \in B$$(a,b) \in g$$(x,a) \in m$$(a,b) \in g$$(x,b) \in m;g$$(x,b) \in m;f$$a' \in A$$(x,a') \in m$f x ≎ x a ≎ a ′ a ′ ≎ a ( a ′ , b ) ∈ $(a',b) \in f$$x \Bumpeq x$$a \Bumpeq a'$$a' \Bumpeq a$$(a',b) \in f$