결정 론적 오류 감소, 최신 기술?

하나는 비트의 무작위성을 사용 하는 무작위 (BPP) 알고리즘 를 가지고 있다고 가정하자 . 선택된 대해 성공 확률을 로 증폭시키는 자연스러운 방법 은 다음과 같습니다. $A$ $r$ $1-\delta$ $\delta>0$

독립적 인 런 + 과반수 투표 : 독립적으로 번 실행하고 출력의 과반수 투표를합니다. 임의의 비트이며 요소에 의해 실행 시간을 줄 입니다. $A$ $T=\Theta(\log(1/\delta)$ $rT =\Theta(r\log(1/\delta))$ $T=\Theta(\log(1/\delta))$
독립 실행 + 체비 셰프를 페어 : 실행 "페어 - 독립적으로" 시간과 임계 값이 필요 비교할 위 랜덤 비트와 불면 팩터에 의해 실행 시간 . $A$ $T=\Theta(1/\delta)$ $rT =\Theta(r/\delta)$ $T=\Theta(1/\delta)$

Karp, Pippenger 및 Sipser [1] (분명히, 나는 종이 자체에 손을 댈 수 없었고, 그것은 간접적 인 계정입니다) 강력한 정규 확장기를 기반으로 한 대안적인 접근 방식을 제공했습니다. 본질적으로 노드를 참조하십시오 무작위 씨앗으로 확장. 임의의 비트를 사용하여 확장기의 임의 노드를 선택한 다음 $2^r$ $r$

거기에서 길이의 짧은 임의 보행을 수행하고, 과반수 투표를하기 전에 경로의 노드에 해당하는 시드 에서 를 실행 하십시오 . 이것은 비트의 임의성을 필요로하며, 팩터에 의해 실행 시간을 증가시킵니다. $T=\Theta(\log(1/\delta))$ $A$ $T$ $r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$ $T=\Theta(\log(1/\delta))$
과반수 투표를하기 전에 현재 노드의 모든 이웃 (또는 더 일반적으로 현재 노드 의 거리 내에있는 모든 노드)에서 를 실행 합니다. 여기에는 비트의 임의성 이 필요 하며 팩터로 실행 시간을 증가시킵니다 . 여기서 는도 (또는 거리 이웃의 경우 입니다 . 매개 변수를 잘 설정하면 비용이 . $A$ $c$ $r$ $T=d$ $d$ $d^c$ $c$ $T=\operatorname{poly}(1/\delta)$

결정적 오류 감소에 해당하는 마지막 글 머리표에 관심이 있습니다. [1] 다음에 개선이 있었으며, 에 대한 의 의존성을 줄 입니까? 현재 달성 가능한 가장 좋은 것은 무엇입니까 for ? ? ( ? ?) $T$ $\delta$ $1/\delta^\gamma$ $\gamma > 1$ $\gamma > 0$ $\textsf{BPP}$ $\textsf{RP}$

참고 : 또한 대신 관심이 있습니다. [2]에 소개 된 바와 같이, 관련 구성은 더 이상 확장기가 아니라 분산기이다 (예 : Ta-Shma의 강의 노트 , 특히 표 3 참조). 나는 결정 론적 (허용 된 보다 하나의 임의의 비트가 아닌 ) 증폭에 대한 해당 경계를 찾을 수 없었 으며, 관련 파라미터 범위에 대한 최첨단 명시 적 분산기 구성이 무엇인지 (더 중요하게는) . $\textsf{RP}$ $\textsf{BPP}$ $r$

[1] Karp, R., Pippenger, N. 및 Sipser, M., 1985. 시간-랜덤 성 트레이드 오프 . 확률 적 계산 복잡성에 관한 AMS 회의 (Vol. 111).

[2] Cohen, A. 및 Wigderson, A., 1989 년 10 월. 분산기, 결정적 증폭 및 약한 무작위 소스. 컴퓨터 과학 기초에 관한 제 30 차 연례 심포지엄 (14-19 페이지). IEEE.

— 클레멘트 C.
소스

내 이해는 다음과 같습니다 (주로 앞서 언급 한 Ta-Shma , van Melkebeek 의 강의 노트 및 Cynthia Dwork 의 강의 노트를 참고하십시오 . 내가 알 수있는 한 분산기는 몇 가지 임의의 비트를 기하 급수적으로 확대하는 것이 좋지만 임의의 비트가 0

— Clement C.

(이 몇 가지 여분의 비트를 기꺼이 사용하려는 경우 Ta-Shma의 강의에는 요약 표 세트가 있습니다.) 추가 무작위성이없는 익스팬더 기반 BPP / RP 접근 방식은 유일한 것으로 보입니다 (BPP에 대한 van Melkebeek의 노트, RP 변형에 대한 Dwork의 노트 참조). 직접 PDF를 찾을 수 없습니다). 에서 다항식의 정도에 명시적인 경계를 부여하는 것으로 않습니다. 이는 확장기 그래프의 정도와 확장에 따라 다릅니다.

p o l y (1 / δ)

$\mathrm{poly}(1/\delta)$

— Clement C.

에서 적어도 선형 적이 지만 확장기 그래프의 (현재) 가장 잘 알려진 구성은 무엇입니까? 사실, 심지어 확률 론적 건축에도?

1 / δ

$1/\delta$

— Clement C.

또한 Salil Vadhan의 의사 난 수성 ( Pseudorandomness )의 섹션 3.5.4 및 섹션 (문제 4.6)과 관련이 있습니다 (단, 특정 질문에 대한 답변은 아닙니다) .

— Clement C.

Melkebeek의 강의 노트는 이미 않습니까? 가 결합 최대 우리는 얻을 수 기존의 구조물을 사용한다. $O(1/\delta)$ $\lambda$ $O(\sqrt{\delta})$ $\lambda = O(1/\sqrt{d})$

Dwork의 강의 노트에서도 필요한 조건은 일정한 상수 대한 확장이 입니다 (c 거리의 지점을 보면 본질적으로 확장을 향상시키기 위해 전원을 사용합니다). 어느 정도 다시 로 얻을 수 있습니다 . $C/\delta$ $C$ $O(1/\delta)$

필요한 실행 횟수에 의 하한이있을 수 있습니다. $\Omega(1/\delta)$

— 손님
소스

알겠습니다.이 말이 맞다는 것을 확인하기 위해 문구를 바꾸겠습니다. 시키는 인 원래 오류 확률 우리가있는 경우 스펙트럼 학위 - 팽창기에 제와 노드 고유 (여기서 (RP와 BPP에 따라 명시 적이며 다른 경우) 실행 시간에 폭발이 발생합니다 . 우리가 명시 가족이 그렇다면 -expanders와 모든 , 모두 우리 필요는 위한 만족해야한다.

α > 0

$\alpha>0$

d

$d$

R = 2^{r}

$R=2^r$

λ \leq \sqrt{δ} \cdot C_{α}

$\lambda \leq \sqrt{\delta}\cdot C_\alpha$

C_{α}

$C_\alpha$

d

$d$

(N, d)

$(N,d)$

λ \leq C / \sqrt{d}

$\lambda \leq C/\sqrt{d}$

N

$N$

d

$d$

d = O_{α} (1 / δ)

$d = O_\alpha(1/\delta)$

— 클레멘트 C.

예를 들어, 임의의 큰 라마누잔 그래프는 임의의 정도 대해 (구성 적으로) 존재 하여 이 주요한 힘인 것으로 알려져있다 . 그러나 모든 대해 를 사용 하여 그래프를 명시 적으로 구성 했습니까 (또는 이 2의 거듭 제곱 인 경우). (나는 그것에 대해 충분히 지식이 없으며, 내가 찾을 수있는 유일한 결과는 Balu-Linial의 구조로 하며 강력하지 않습니다.)

d

$d$

d - 1

$d-1$

λ = O (1 / \sqrt{d})

$\lambda = O(1/\sqrt{d})$

n

$n$

n

$n$

O (\sqrt{(\log^{3} d) / d})

$O(\sqrt{(\log^3 d)/d})$

— Clement C.