제곱근의 합의 상한 문제에 대한 증거

[1]에서 Garey et al. 유클리드 TSP의 NP- 완전성을 해결하는 과정에서 나중에 제곱근 문제의 합으로 알려진 것을 식별합니다.

주어진 정수 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 과 $L$, 여부를 결정 $\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L$

그들은이 문제가 NP에 있다는 것이 명백하지 않다는 것을 관찰한다. 왜냐하면 제곱근의 계산에서 합계를 충분히 비교하기 위해 필요한 최소 정밀도 자릿수가 명확하지 않기 때문이다 $L$. 그러나 그들은 가장 잘 알려진 상한을 인용합니다.$O(m2^n)$ 어디 $m$"원래 기호식의 자릿수"입니다. 불행하게도,이 상한은 AM Odlyzko의 개인적인 커뮤니케이션에 기인합니다.

누구 든지이 상한에 대한 적절한 언급이 있습니까? 또는 게시 된 참조가 없으면 증명 또는 증명 스케치도 도움이됩니다.

참고 : 나는이 한계가 Bernikel 등의보다 일반적인 결과의 결과로 추론 될 수 있다고 생각합니다. 알. [2] 2000 년경부터 더 큰 종류의 산술 표현을위한 분리 경계. 나는 대부분 더 동시적인 참고 문헌 (즉, 1976 년경에 알려진 것) 및 / 또는 제곱근의 합의 경우에 특화된 증명에 관심이 있습니다.

1. Garey, Michael R., Ronald L. Graham 및 David S. Johnson. " 일부 NP- 완전한 기하학적 문제 ." 컴퓨팅 이론에 관한 제 8 회 연례 ACM 심포지엄 진행. 1976 년 ACM.

2. Burnikel, Christoph 등 " 라디칼을 포함하는 산술 표현에 대한 강력하고 쉽게 계산 가능한 분리 . Algorithmica 27.1 (2000) : 87-99.

다음은 다소 거친 증거 스케치입니다. 허락하다$S = \sum_{i=1}^n \delta_i \sqrt{a_i}$ 어디 $\delta_i \in \{\pm 1\}$. 이것은 최대 대 수도입니다$2^n$ 그리고 최대 높이 $H = (max(a_i))^{n}$. 이제 쉽게 확인할 수 있습니다$S = 0$ (에서도 가능하다 $TC^0$- 볼 이 ) .If을$S \neq 0$ 그런 다음 멀리 떨어져 $0$ 최소 다항식의 차수와 높이의 함수 인 수량에 따라 $S$. 불행하게도, 정도에 대한 의존성은 제곱근의 수에 기하 급수적입니다.$a_i$의 부호는 명백한 소수이지만,이 정도의 경계는 빡빡하지만, 부호 평가의 경우 다루기가 쉽다). 따라서 필요한 정밀도는 제곱근의 수에 기하 급수적입니다.$2^n$비트 $S$. 이제 각각을 자르면 충분합니다.$\sqrt{a_i}$ 말하다 $2^{10n}$부호가 올바른지 확인하는 비트. 이것은 다 단계적으로 많은 단계의 뉴턴 반복을 통해 쉽게 수행됩니다). 이제 합계가 양수인지 확인하는 것입니다. 이것은 단지 추가이므로 summands의 비트 수에 선형입니다. 이 계산은 BSS 시스템에서 다항식 시간입니다. 또한 우리는 최소 다항식으로 직접 계산을 수행하지 않습니다.$S$거대한 계수를 가지고 추악하게 보일 수있는 자체 그 자체를 사용하여 제곱근을 자르는 데 필요한 정밀도를 추론합니다. 자세한 내용은 Tiwari의 논문을 확인하십시오 .