양자화의 순서를 바꾸는 기술

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일반적으로, 범용 및 실재 양자화 기의 순서를 바꿀 수 없다는 것은 잘 알려져있다. 즉, 일반 논리식 경우 $\phi(\cdot,\cdot)$

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

반면에 우리는 오른쪽이 왼쪽보다 더 제한적이라는 것을 알고 있습니다. 즉, $(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$ 입니다.

이 질문은 파생 기술에 초점을 맞추고 $(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$ 그 동안 보유 할 때마다, $\phi(\cdot,\cdot)$ .

대각선 화 는 그러한 기술 중 하나입니다. I 먼저 종이에 대각이 사용 표시 의 Relativizations $\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$ 질문 (또한 참조 카츠 단거리 참고 ). 이 논문에서 저자는 먼저 다음을 증명합니다.

결정 론적 다항식 시간 오라클 머신 M의 경우 와 같은 언어 B가 있습니다 $L_B \ne L(M^B)$ .

그런 다음 수량 화기의 순서를 반대로 ( 대각 화 사용 ) 다음을 증명합니다.

모든 결정 론적 폴리-시간 M에 대해 가 언어 B가 존재합니다 . $L_B \ne L(M^B)$

이 기술은 [CGH] 및 [AH] 와 같은 다른 용지에 사용됩니다 .

나는 [IR] 의 정리 6.3의 증거에서 다른 기술을 발견했다 . 측정 이론 과 비둘기 구멍 원리 의 조합을 사용하여 수량 자의 순서를 반대로합니다.

컴퓨터 과학에서 보편적이고 존재하는 정량 자의 순서를 바꾸기 위해 어떤 다른 기술이 사용되는지 알고 싶습니다.

lo.logic big-picture proof-techniques

— MS 두티
소스

14

와우, 이것은 좋은 질문입니다. 그것을 읽는 것만으로 "친숙한"물체를 다르게 보았습니다. 감사!

— Mark Reitblatt

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정량 자의 반전은 종종 잘 알려진 이론 뒤에있는 중요한 속성입니다.

예를 들어, 분석에서 의 차이 및 는 점 단위 와 균일 한 연속성 의 차이 입니다. 잘 알려진 정리에 따르면 모든 점 단위 연속 맵은 도메인이 양호하고 컴팩트 한 경우 균일하게 연속적 입니다. $\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$ $\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

실제로, 소형화는 정량화 반전의 핵심입니다. 가 명백하고 가 컴팩트 한 두 개의 데이터 유형 와 를 고려 하고 (이 용어에 대한 설명은 아래 참조) 를 와 사이의 반 결정 가능한 관계 라고하자 . 문장 다음과 같이 될 수있다 : 모든 점 에서 일부에 의해 덮여 . 세트 는 "계산 가능"(반 가능) 및 이므로 $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\phi(x,y)$ $X$ $Y$ $\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$ $y$ $Y$ $U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$ $U_x$ $Y$ 컴팩트 한 서브 커버가 존재합니다. 우리는 임을 증명했다 의미 종종 유한리스트 의 존재를 단일 줄일 수 있습니다 . 예를 들어, 가 선형으로 정렬되고 가 순서와 관련하여 에서 모노톤 이면 를 중 가장 큰 것으로 간주 할 수 있습니다 .

\forall y : Y . \exists x : X . ϕ (x, y)

$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$

\exists x_{1}, \dots, x_{n} : X . \forall y : Y . ϕ (x_{1}, y) \lor \dots \lor ϕ (x_{n}, y) .

$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1, \ldots, x_n$

x

$x$

X

$X$

ϕ

$\phi$

x

$x$

x

$x$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1, \ldots, x_n$

이 원칙이 익숙한 경우에 어떻게 적용되는지 보려면 이 연속 함수 라는 문장을 살펴 보겠습니다 . 외부 범용 정량 자에 대해 혼동되지 않도록 을 자유 변수로 유지합니다 : 때문에 소형이며 실수의 비교는, 문 semidecidable이다 은 반 결정 가능하다. 양의 실수는 명백하고 은 작으므로 다음 원리를 적용 할 수 있습니다. $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ $\epsilon > 0$

\forall x \in [0, 1] . \exists δ > 0 . \forall y \in [x - δ, x + δ] . | f (y) - f (x) | < ϵ .

$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$

[x - δ, x + δ]

$[x - \delta, x + \delta]$

ϕ (x, δ) \equiv \forall y \in [x - δ, x + δ] . | f (y) - f (x) | < ϵ

$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$

[0, 1]

$[0,1]$

\exists δ_{1}, δ_{2}, \dots, δ_{n} > 0 . \forall x \in [0, 1] . ϕ (δ_{1}, x) \lor \dots ϕ (δ_{n}, x) .

$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$ 이후 에서 antimonotone입니다 의 가장 작은 이미 일을, 그래서 우리가 하나 필요 : 우리가 가진 것은 균일 한 연속성입니다 .

ϕ (δ, x)

$\phi(\delta, x)$

δ

$\delta$

δ_{1}, \dots, δ_{n}

$\delta_1, \ldots, \delta_n$

δ

$\delta$

\exists δ > 0 . \forall x \in [0, 1] . \forall y \in [x - δ, x + δ] . | f (y) - f (x) | < ϵ .

$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$

f

$f$

모호하게 말해서, 데이터 유형은 계산 가능한 범용 양자화 기가 있으면 컴팩트 하고 계산 가능한 실존 적 정량화 기가 있으면 명백 합니다. (음수가 아닌) 정수 은 인지를 반 결정하기 때문에 명백합니다 와 semidecidable, 우리는, 병렬로 검색을 수행 가 연계를 . 캔터 공간 은 Paul Taylor의 Abstract Stone Duality 및 Martin Escardo의 " 데이터 유형 및 고전 공간의 합성 토폴로지 "(또한 검색 가능한 공간 의 관련 개념 참조)에서 설명한 것처럼 작고 간결 합니다 . $\mathbb{N}$ $\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$ $\phi(n)$ $2^\mathbb{N}$

언급 한 예에 원칙을 적용합시다. 우리는 고정 된 알파벳 위의 (유한 한) 단어에서 부울 값까지의 맵으로 언어를 봅니다. 유한 단어는 정수와 계산 가능한 형용사 관계에 있기 때문에 언어를 정수에서 부울 값까지의 맵으로 볼 수 있습니다. 즉, 모든 언어의 데이터 유형은 계산 가능한 동형에 이르기까지 정확하게 Cantor 공간 nat -> bool또는 수학 표기법 으로 압축됩니다. 다항식 튜링 머신은 유한 문자열 인 프로그램에 의해 설명되므로 모든 튜링 머신의 공간은 또는 으로 간주 될 수 있습니다 . $2^\mathbb{N}$ nat $\mathbb{N}$

튜링 기계 감안할 때 과 언어 , 문 "언어라고하는 거부 할 은 사실 decidable에 있기 때문에"semidecidable입니다 : 그냥 실행 입력하여 와 무엇을보고 그렇습니다. 우리의 원칙에 대한 조건이 만족됩니다! 문 "모든 오라클 기계 언어가 있도록 인정되지 않는 로 상징적으로 작성" 수량 자의 역전 후 우리는 얻을 $M$ $c$ $\mathsf{rejects}(M,c)$ $c$ $M$ $M$ $c$ $M$ $b$ $b$ $M^b$

\forall M : N . \exists b : 2^{N} . r e j e c t s (M^{b}, b) .

$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$

\exists b_{1}, \dots, b_{n} : 2^{N} . \forall M : N . r e j e c t s (M^{b_{1}}, b_{1}) \lor \dots \lor r e j e c t s (M^{b_{n}}, b_{n}) .

$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$ 우리는 유한하게 많은 언어를 사용합니다. 그것들을 하나로 결합 할 수 있습니까? 나는 그것을 (나 자신과 당신을 위해) 운동으로 남겨 둘 것입니다.

변환 방법에 대한 약간 더 일반적인 질문에 관심이있을 수도 있습니다 를 형식의 동등한 문장으로 또는 그 반대 예를 들어 다음과 같은 여러 가지 방법이 있습니다. $\forall x . \exists y . \phi(x,y)$ $\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

— 안드레이 바우어
소스

4

매우 일반적인 조건 (한 공간은 명백하고 다른 공간은 작고 관계는 열려 있어야 함)이지만 기술이기도합니다. 조건을 만족하는 토폴로지를 찾을 수 있으면 수량자를 반전시킬 수 있습니다.

— Andrej Bauer

8

@Andrej, 당신의 대답은 정말 좋고 교육적입니다. 이 게시물이 나타날 때까지 소형화와 역화 수량화 사이에 관계가 있다는 것을 결코 알지 못했습니다. 깨달음을 느낍니다.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

8

정말 놀라운 답변입니다.

— Suresh Venkat

10

나는 아첨을 느낀다. 더 많은 사람들이 논리, 계산 및 토폴로지 간의 친밀한 연결에 대해 알고 싶습니다.

— Andrej Bauer

6

@Andrej : "논리, 계산 및 토폴로지 간의 친밀한 연결"에 대한 좋은 참고 자료 (특히 책 또는 강의 노트)가 있습니까?

— MS Dousti

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Impagliazzo의 하드 코어 세트 보조 정리를 사용하면 계산 경도 가정의 맥락에서 정량자를 전환 할 수 있습니다. 원본 논문 은 다음과 같습니다 . Googling으로 수많은 관련 논문 및 게시물을 찾을 수 있습니다.

표제어는 경우 있다고 모든위한 알고리즘 A를 존재 A가 고정 함수 f를 계산하는 데 실패하는 입력의 큰 집합을, 다음 사실 이 존재 하는 입력의 큰 집합 의 모든 알고리즘은 (1)에 가까운 확률 f를 계산하는 데에 실패를 / 2.

이 정리는 최소-최대 정리 또는 부스팅 (계산 학습 이론의 기술)을 사용하여 증명할 수 있으며, 둘 다 스위칭 정량화 기의 예입니다.

— 마누
소스

3

훌륭한 지적입니다.

— Suresh Venkat

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나에게 Karp-Lipton 정리의 "정식"증거 ( )는이 맛이 있습니다. 그러나 여기서는 정량자가 역전되는 실제 정리 진술이 아니라 가 작은 회로를 가지고 있다는 가정을 사용하여 교번 계산 모델 내에서 "정량 기"가 역전된다 . $NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$ $NP$

양식 계산을 시뮬레이션하려고합니다

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

여기서 은 다항식 시간 술어입니다. 만족을 위해 작은 회로 를 추측하고, 를 수정 하여 입력을 만족시킬 때 만족스러운 할당을 생성 하도록 수정 함으로써이 작업을 수행 할 수 있습니다. 그런 다음 모든 대해 해당 하는 SAT 인스턴스 를 작성하여 해결하십시오. 그래서 당신은 양식의 동등한 계산을 생성했습니다 $R$ $C$ $C$ $y$ $S(x,y)$ $(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$ 는 에 따라 만족할 수 있습니다 . $C]$

— 라이언 윌리엄스
소스

두드러진! 이것은 가정 기반 정량화 기 스위칭의 예입니다.

— MS Dousti

이것은 완벽하게 맞지만 대신 를 작성하는 것이 좋습니다. NP는 결코 P / poly와 같을 수 없기 때문입니다.

N P \subset P / p o l y

$NP \subset P/poly$

N P \subseteq P / p o l y

$NP \subseteq P/poly$

— MS Dousti

12

확률 론적 방법에 결합 된 기본 결합의 사용은 정량 자의 순서를 반대로하는 방법으로 해석 될 수 있습니다. Impagliazzo와 Rudich의 증거가 이것의 예이기 때문에 이것은 이미 암묵적으로 질문에 언급되었지만, 더 명확하게 진술 할 가치가 있다고 생각합니다.

한다고 가정 X는 유한하고 모든에 대한 X ∈ X , 우리가 알고뿐만 아니라 일부 Y ∈ Y의 만족 φ ( X , Y )뿐만 아니라 그 많은 선택 Y ∈ Y 충족 φ ( X , Y ). 공식적으로, (∀ x ∈ X ) Pr _{y ∈ Y} [￢φ ( x , y )] <1 / | X | Y 에 대한 확률 적 척도. 그런 다음 결합 바운드를 사용하여 Pr _{y ∈ Y} [(∃ x ∈ X ) φ φ ( x , y )] <1을 결정할 수 있습니다. 이는 (∃ y ∈ Y ) (∀ x ∈ X ) φ ( x , y ).

이 주장에는 변형이 있습니다 :

경우 X는 무한하다, 우리가 할 수 때때로 분리 (Discretize) X 에 적합한 메트릭 고려하여 X 와 ε의 그것의 -net을. X를 이산화 한 후 위와 같이 공용체 바인딩을 사용할 수 있습니다.
이벤트의 경우 φ ( X , Y 의 서로 다른 값) x는 거의 독립적 인, 우리가 사용할 수 있습니다 로바 츠 지역의 보조 정리를 대신 바인딩 조합의.

— 이토 츠요시
소스

2

츠요시,이 몹시 주제 떨어져이지만 :) 중재자로서 자신을 추천하는 시간

— 수레 쉬 벤 카트

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몇 가지 다른 기술을 추가하고 싶습니다. 처음 두 기술은 보편적 인 수량화와 존재하는 정량화의 순서를 반대로 바꾸는 것이 아니지만 매우 비슷한 풍미를 가지고 있습니다. 따라서 나는 여기에서 그것들을 설명 할 기회를 얻었습니다.

평균 정리 : 및 기타 많은 흥미로운 이론 을 증명하는 데 사용됩니다 . 비공식적으로 , 는 일부 도서관에 대한 가입자 집합을 나타내고 , 는 도서관에있는 책 세트를 나타내고, 와 에 대해 제안 가 참인 경우 책을 좋아하는 . " 모든위한 경우 것은 : 평균화 표제어는 상태 적어도 2/3이 존재, 의 안으로 되도록 다음 번의 존재 보류 $BPP \subset P/poly$ $S$ $B$ $s\in S$ $b \in B$ $\phi(s,b)$ $s$ $b$ $s \in S$ $b$ $B$ $\phi(s,b)$ $b \in B$ 중 적어도 2/3되도록 'S에서 , 명제 유지한다. (이것은 reductio ad absurdum 과 counting argument 를 통해 쉽게 입증 될 수 있습니다 .) $s$ $S$ $\phi(s,b)$

이제 , 을 결정하는 PPT 기계 라고합시다 . 의 실행 시간이 다항식 의해 제한 된다고 가정하십시오 . 그런 다음,에 대한 , 그리고 적어도 2/3에 대한 의, , 그것을 보관 유지 . 여기서 은 임의성 을 사용 하는 기계 이고 은 의 특성 함수입니다 . 그런 다음 평균 nemma는 $L \in BPP$ $M(\cdot)$ $L$ $M$ $q(\cdot)$ $x \in \{0,1\}^*$ $r$ $r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$ $M_r(x) = \chi_L(x)$ $M_r(\cdot)$ $M$ $r$ $\chi_L(\cdot)$ $L$ $n \in \mathbb{N}$ 단일 존재 , 예컨대 그 중 적어도 2/3에 대한 의 길이의 , . 이 단일 은 대한 조언으로 작동 하므로 입니다. $r \in \{0,1\}^{q(n)}$ $x$ $n$ $M_r(x) = \chi_L(x)$ $r$ $M$ $BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

렘마 ( Lemma) 교환 : Zachos와 Fürer 는 새로운 확률 적 정량 자 (대부분 "대부분"을 의미 함)를 도입했습니다. 그들은 그것을 증명했다 (세부 사항 생략) : $\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

이것은 2 차 논리 정리입니다.

그들은 교환식 정리를 사용하여 BPP 정리 및 Babai의 정리 와 같은 여러 가지 흥미로운 정리를 증명했습니다. 자세한 내용은 원본 용지를 참조하십시오. $MA \subseteq AM$

에 언급 된 카프 - 립톤 정리 유사한 정리 라이언 윌리엄스 : 포스트 . $coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$

— MS 두티
소스

Nitpicking : BPP⊆P / poly의 실제 증거는 여기에 쓰여진 것보다 조금 더 필요하다는 점에 주목하고 싶습니다. 인스턴스의 2/3 부분에 대해서만 작동하는 어드바이스 문자열이 충분하지 않기 때문입니다. 그러나이 답변의 전반부의 중요한 점은 BPP⊆P / poly의 증거가 정량화 반전과 유사한 것으로 볼 수 있다는 것입니다. 이는 완전히 유효합니다.

— Ito Tsuyoshi

@ 츠요시 : 당신이 맞아요. 그러나 나머지 증명은 순차적 반복과 Chernoff 경계를 사용하여 기하 급수적으로 작은 입력 부분을 제외하고 모두 작동 하는 의 존재를 증명합니다 . 당신이 말했듯이, 그것은 정량화 반전과 관련이 없으므로 생략했습니다.

r

$r$

— MS Dousti

당신이 내 요점을 가지고 있는지 확실하지 않습니다. 내 요점은“평균적인 정리”라는 진술이 BPP⊆P / poly를 증명하기에 충분하지 않다는 것이다. 약간 더 정확한 추정치, 즉 max_b [Pr_s φ (s, b)] 대신 예상 확률 E_b [Pr_s φ (s, b)]의 추정치가 필요합니다.

— 이토 쓰요시

@ 츠요시 : 나는 당신을 얻지 않았다 두려워. 이전 의견에서, 나는 먼저 1/3 오차를 증폭 한 다음 평균 레메 마를 적용합니다. 다음 은 Goldreich의 책에서 얻은 완전한 증거입니다. 뭔가 빠졌습니까?

2^{- | x |}

$2^{-|x|}$

— MS Dousti

감사! 나는 당신의 의견을 오해하고있었습니다. 나는 BPP⊆P / poly가 먼저 오류를 줄이고 평균적인 정리를 적용함으로써 증명 될 수 있다는 것을 몰랐다 (나는 반대 순서를 생각하고 있었다).

— Ito Tsuyoshi