이론의 자세 / 격자에 대한 메트릭 구조 적용

용어가 오버로드되었으므로 간단한 정의가 먼저 발생합니다. 포 세트 는 부분 순서 ≤가 부여 된 세트 입니다. 두 요소 감안할 때 , b를 ∈ X , 우리가 정의 할 수 있습니다 X ∨ Y 상단에 결합 된 그들의 적어도 (가입) X를 , 유사하게 정의 X ∧ Y (대회) 바인딩 낮은 최대로 (조인).$X$$\le$$a,b \in X$$x \vee y$$X$$x \wedge y$

격자는 두 요소가 고유 한 만남과 고유 한 조인을 갖는 포즈입니다.

격자 (이 형식으로)는 서브 모듈러 (하위 격자와 함께)와 클러스터링 (구획 격자)과 (이해하지 못하는) 도메인 이론과 (정확하게) 이론에서 이론 CS에 나타납니다. 분석.

그러나 나는 격자에 메트릭 구조를 사용하는 응용 프로그램에 관심이 있습니다. 안티 모노톤 서브 모듈러 함수 (안티 모노톤은 x ≤ y , f ( x ) ≤ f ( y ) )가 메트릭 d ( x , y ) = 2 f ( x ∧ y ) − f ( x ) − f ( y $f : X \rightarrow R$$x \le y, f(x) \le f(y)$

$$d(x,y) = 2f(x \wedge y) - f(x) - f(y)$$

이 지표는 데이터 세트의 서로 다른 두 클러스터링을 비교하는 방법으로 광범위하게 사용되었습니다.

미터법 구조에 관심이있는 다른 격자 응용 프로그램이 있습니까? 도메인 이론 / 정적 분석 애플리케이션에 관심이 있었지만 지금까지는 메트릭스 가 필요하지 않았습니다 .

먼저 의견입니다. 질문의 종류는 기하학적으로 "메트릭"이라는 단어를 어떻게 의미하는지에 달려 있습니다. 의미론 및 정적 분석에서 초음파를 사용하는 것이 일반적이지만 일반적으로 초음파는 기하학적 해석보다는 조합을 갖는 경향이 있습니다. (이것은 도메인 이론이 토폴로지의 기하학적 사용보다는 조합의 풍미를 가지고 있다는 관측의 변형입니다.)

즉, 이것이 프로그램 증명에서 어떻게 나타나는지 보여줄 것입니다. 먼저, 프로그램 증명에서 프로그램을 설명하는 공식이 있음을 보여주고 싶습니다. 일반적으로,이 공식은 반드시 부울로 해석 될 필요는 없지만, 진리 값의 격자 요소에서 도출 될 수 있습니다. 그렇다면 진정한 공식은 격자의 상단과 같은 것입니다.

또한 매우 자체 참조 프로그램 (예 : 자체 수정 코드를 광범위하게 사용하는 프로그램)을 지정할 때 문제가 매우 어려울 수 있습니다. 우리는 일반적으로 프로그램의 재귀 적 사양을 제공하고 싶지만 정의를 중단시키는 명확한 유도 구조가 없을 수도 있습니다. 이 문제를 해결하기 위해 진리 값 격자에 추가 메트릭 구조를 갖추는 것이 종종 도움이됩니다. 그런 다음 고정 소수점을 원하는 술어가 엄격하게 계약임을 표시 할 경우 원하는 순환 재귀 술어가 잘 정의되어 있다고 결론을 내릴 수 있도록 Banach의 고정 소수점 정리에 호소 할 수 있습니다.

내가 가장 익숙한 경우를 "단계 색인"이라고합니다. 이 설정에서, 우리는 격자 취할 의 서브 세트 아래쪽 폐쇄 될 진리 값을 N 엘리먼트 우리 느슨하게 "속성은 보유 된 평가 시퀀스의 길이"으로 해석 할 수있다. 만나고 조인은 평소와 같이 교차로와 노조입니다. 격자가 완료되었으므로 Heyting의 의미도 정의 할 수 있습니다. 격자는 또한 두 격자 요소 사이의 거리를 2 - n 으로함으로써 초음파를 장착 할 수있다 . 여기서 n 은 한 세트에서 가장 작은 요소이지만 다른 세트는 아니다.$\Omega$$\mathbb{N}$$2^{-n}$$n$

$p : \Omega \to \Omega$$n+1$$n$$\top = \mathbb{N}$

보다 일반적으로 사용되는 CPO에 대한 대안으로 Arnold와 Nivat는 획기적인 의미론의 도메인으로 (완전한) 메트릭 공간을 탐색했습니다 [1]. 그의 논문에서 Bonsangue [2]는 이러한 의미 론적 의미론과 공리적 의미론 사이의 이중성을 탐구했다. 전체적으로 매우 포괄적 인 그림을 제공하기 때문에 여기에 언급했습니다.

[1] : Arnold, M Nivat : 비 결정적 재귀 프로그램의 무한 트리 및 의미론의 메트릭 해석. 이론. 계산. 공상 과학 11 : 181-205 (1980).
[2] : Elsevier 1998, ENTCS의 의미 8 권 에서 MM Bonsangue Topology Duality

다음은 하나입니다 (우연히 내 읽기 대기열의 상단부터).

Swarat Chaudhuri, Sumit Gulwani 및 Roberto Lublinerman. 프로그램의 연속성 분석. POPL 2010.

저자는 간단한 루프를 통해 명령형 언어에 대해 의미 론적 의미를 제공하여 기본 제품 메트릭 공간의 값에서 함수로 표현식을 해석합니다. 요점은 "if"및 루프가 존재하는 경우에도 어떤 프로그램이 연속 기능을 나타내는 지 결정하는 것입니다. 또한 특정 입력 및 출력으로 제한되는 연속성에 대한 질문도 허용합니다. (이것은 경로 길이는 연속적이지만 실제 경로는 아닌 Dijkstra의 알고리즘을 분석하는 데 중요합니다.)

미터법 공간 이 필요한 것을 아직 보지 못했습니다. 지금까지 일반 토폴로지를 사용하여 수행했을 수 있지만 3 페이지에만 있습니다. :)

다른 답변을 추가 해 드려 죄송하지만 위의 다른 답변과 관련이 없습니다.

동시성에 대한 학생들을 자극하거나 교육하기 위해 일상적으로 사용하는 미터법 공간은 무한한 흔적입니다. 이 유도 토폴로지는 정확하게 하나 Alpern 및 슈나이더의 성격을 사용 [1]은 안전 하고 유효화 각각 한계 폐쇄 및 밀도 등의 속성.

$$\begin{array}{@{}rcl} d : \Sigma^\omega\times\Sigma^\omega & \longrightarrow & \mathbb{R}_{{}\ge 0}\\ % (\sigma,\tau) & \mapsto & 2^{-\sup \{~i\in\mathbb{N} ~|~ \sigma|_i = \tau|_i~\}} \end{array}$$ $\sigma|_i$$\sigma$$i$$2^{-\infty} = 0$

돌이켜 보면이 답변에는 격자 또는 포셋 구조의 필수 요소가 없다는 것을 알고 있습니다. 그러나 이러한 격자 구조는 한 수준을 Clarkson과 Schneider가 hyperproperties 라고 부르는 수준으로 이동할 때 존재합니다 [2]. 글을 쓰는 시점에서 미터법을 들어 올리는 방법이 명확하지 않습니다.

[1] B Alpern 및 FB 슈나이더. 생동감 정의. IPL, 21 (4) : 181–185, 1985.
[2] MR Clarkson 및 FB 슈나이더. 하이퍼 속성. CSF, p51-65, IEEE, 2008.