Median-SAT의 복잡성은 무엇입니까?

는 변수와 절을 가진 CNF 공식으로 하자 . 하자 가변 할당 및 표현 에 변수 할당 만족 절 수 카운트 . 그런 다음 모든 대한 의 중앙값을 계산하는 문제로 Median-SAT를 정의하십시오. $\varphi$ $n$ $m$ $t \in \{ 0,1 \}^n$ $f_{\varphi}(t) \in \{ 0, \ldots , m \}$ $\varphi$ $f_{\varphi}(t)$ . 예를 들어, 가 타우 톨 로지이면할당에 관계없이 모든 절이 충족되므로Median-SAT에 대한 솔루션은 입니다. 그러나 의 경우Median-SAT 솔루션은 과 사이에있을 수 있습니다. $t \in \{ 0,1 \}^n$ $\varphi$ $m$ $\overline{SAT}$ $0$ $m-1$

이 질문은 SAT, MAX-SAT 및 #SAT의 두 가지 자연 확장을 고려할 때 발생했으며 문제를 함께 모으면 어떤 문제가 발생할 수 있습니까? MAX-SAT의 경우, 의해 충족되는 변수의 수를 최대화하기 위해 특정 변수 할당을 찾아야합니다 . #SAT 의 경우 모든 절을 만족하는 할당 수를 계산해야합니다 . 이 변형은 주로 #SAT (및 실제로는 #WSAT ) 의 확장으로 이루어 지지만 MAX-SAT의 풍미 중 일부는 모두 만족하는지 여부를 결정하기보다는 만족 된 절 수를 세는 것입니다. 아니. $\varphi$ $m$ $\varphi$

이 문제는 #SAT 또는 #WSAT보다 어렵습니다. 각 변수 할당에 대해 #SAT는 해당 할당이 충족시키는 지 여부에 대한 부울 문제를 결정하는 반면, 중앙값 SAT 는 할당이 만족하는 절 수로 "어느 정도까지" 가 만족 되는지 결정 합니다. $\varphi$ $\varphi$

이 문제는 다소 임의적이라는 것을 알고 있습니다. 각 변수 할당이 만족하는 평균 또는 모드 수의 절을 계산하면 동일한 품질을 얻는 것으로 보입니다. 아마도 많은 다른 문제들도 마찬가지입니다.

이 문제는 아마도 다른 모습으로 연구 되었습니까? #SAT와 비교하여 얼마나 어렵습니까? FEXPTIME에 포함되어있는 것처럼 보이지만 Median-SAT가 FPSPACE에 포함되어 있다는 것은 분명하지 않습니다.

cc.complexity-theory sat counting-complexity

— Ben 베넷
소스

그것은에있어

: 각

우리 만족 할당의 수를 카운트 할 수 적어도

#P 오라클을 사용 절.

F P^{# P} \subseteq F P S P A C E

$FP^{\#P}\subseteq FPSPACE$

k \leq m

$k\leq m$

k

$k$

— Colin McQuillan

@Colin이 답변으로 만들까요?

— Suresh Venkat

예, 이것은 좋은 대답이 될 것입니다.

절이 충족 되는지 확인하기 위해 #P oracle을 쿼리하는 방법에 대해 자세히 설명해 주 시겠습니까? 효율적으로 수행하는 방법을 알 수 없었습니다.

k \leq m

$k \leq m$

— Huck Bennett

@ 츠요시, SAT에 대한 정의는 무엇입니까? 우리는 절의 반복을 허용하고 있습니까? 또는 주어진 절의 리터럴 및 / 또는 변수? 주어진 절에서 리터럴 및 / 또는 변수의 반복을 허용하지 않으면

— 타우 톨로 지인

@Tayfun-실제로이 질문을했고 Tsuyoshi는 사소한 편집을 도왔습니다. 당신은 반복 리터럴을 요구하는 CNF 공식의 타우 톨 로지에 대해 옳습니다. 모든 SAT 변형은 흥미 롭다 (CNT-SAT, 절에서 반복이없는 경우 (인 경우 ututology가 불가능 함), 또는 CIRCUIT-SAT가 더 일반적 일 것임). 나는이 선택이 질문의 맛을 바꾸지 않는다고 생각한다.

— Huck Bennett

$k$ $k$ $k$ $k$

$\#P$ $FP^{\#P} \subseteq FPSPACE$

— 콜린 맥퀸
소스

당신 말이 맞아요 이것은 매우 깨끗한 주장이며 #P의 정의에서 꽤 분명합니다. 나는 무언가를 배웠다.

— Ben 베넷

k

$k$

# P

$\#P$

# P

$\#P$

F P^{# P}

$FP^{\#P}$

$\lceil \lg m+1 \rceil$

$M(\varphi)$ $\varphi$ $k$ $\psi_k$ $x$ $x$ $k$ $\varphi$ $\varphi$ $k$ $\psi_k$

$\psi_k$ $\psi_k$ $M(\varphi) \ge k$ $M(\varphi)$ $k=m/2$ $k$ $\lg m+1$ $M(\varphi)$ . 각 반복마다 MAJSAT에 대한 오라클에 대한 하나의 쿼리가 필요합니다.

— DW
소스