NP- 완전 인수 분해의 변형.

Arora와 Barak 의 책은 다음과 같은 문제를 고려합니다.

$\text{FACTORING} = \{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists \text{ a prime } p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\}$

또한 2 장에서 가 소수 라는 사실을 제거 하면이 문제가 NP- 완전하게되지만 숫자를 계산하는 어려움과는 관련이 없습니다. SUBSETSUM에서 축소가있을 수 있지만 찾지 못했습니다. 이 주변에 더 나은 행운이 있습니까? $p$

3 월 1 일 수정 : 현상금은 결정적 Karp (또는 Cook) 감소를 사용한 증명 용 입니다. $NP$

cc.complexity-theory np-hardness factoring

— 미카엘 카딜 하크
소스

@ turkistany : FWIW, NP를 이탤릭체로 넣는 나쁜 스타일과 나쁜 스타일과 나쁜 LaTeX 모두 수학 모드에 넣는 것으로 생각합니다 (문자 사이의 간격이 다름).

— Michaël Cadilhac

@ Michaël, 죄송합니다. 원래 스타일로 되돌아갔습니다. 나는 당신의 질문에 흥분했습니다 :)

— Mohammad Al-Turkistany

좀 더 완전한 설명 :이 책의 63 페이지에, 그들은 다음과 같이 썼다 : Alon과 Kilian (개인 커뮤니케이션에서)은 Example 2.3의 Factoring 언어의 정의 에서 p가 주요한 조건이 인수 분해 문제 :이 조건이 없으면이 언어는 NP- 완료되기 때문에 (계수 정수의 경도와 관련이없는 이유로)

— MS Dousti

당연히, 나는 "인자 화"와 "NP- 완료"가 포함 된 Alon과 Kilian의 논문을 검색했습니다. :(

— Ito Tsuyoshi

@Michael 실제로 클래스를 아닌 로 렌더링하는 것을 좋아 합니다. 아니 ?

N P

$\mathsf{NP}$

— Suresh Venkat

답변:

이것은 정답은 아니지만 가깝습니다. 다음은 무작위 감소에서 문제가 NP-hard라는 증거입니다.

: , , , 의 요소를 알고 있다고 가정하면 부분 집합 합계와 명백한 관계가 있습니다. 이제 의 하위 집합 를 합니다. $N$ $p_1$ $p_2$ $\ldots$ $p_k$ $S$ $p_1$ $\ldots$ $p_k$

\log L \leq \sum_{p_{i} \in S} \log p_{i} \leq \log U .

$\displaystyle \log L \leq \sum_{p_i \in S} \log p_i \leq \log U.$

문제를 보여주기 위해이 아이디어를 사용하려고 시도에 대한 문제는 NP-하드 숫자는 당신이 일부-합 문제가있는 경우이다 , , , , 당신은 반드시 같은 그 다항식 시간에 소수를 찾을 수 없습니다 (여기서 는 대략 비례합니다). 서브셋 합계가 NP가 완전하지 않기 때문에 큰 정수 대해 를 찾아야하기 때문에 이것은 실제 문제 입니다. $t_1$ $t_2$ $\ldots$ $t_k$ $\log p_i \propto t_i$ $\propto$ $\log p_i$ $t_i$

이제 부분 집합 합 문제의 모든 정수 가 와 이고 합이 대략 합니다. 부분합 합 문제는 여전히 NP- 완료이며, 모든 솔루션은 정수 의 합입니다 . 가 와 에있게하고, 합이 정확히 가 아닌 와 사이에 있어야 한다면 문제를 정수에서 실수로 수 있습니다 . 우리는 주위에 우리의 숫자를 지정해야합니다 $t_1$ $\ldots$ $t_k$ $x$ $x(1+1/k)$ $\frac{1}{2}\sum_i t_i$ $k/2$ $t'_i$ $t_i$ $t_i+\frac{1}{10k}$ $s$ $s$ $s + \frac{1}{10}$ $4 \log k$ 더 많은 정밀도 비트를 사용하십시오. 따라서 비트로 시작하고 실수 를 대략 비트의 정밀도로 지정할 수 있으면 축소를 수행 할 수 있습니다. $B$ $\log p_i$ $B + 4 \log k$

이제 Wikipedia에서 (아래 Hsien-Chih의 의견을 통해) 와 사이의 소수 는 . 이 범위 내에서 임의의 숫자를 무작위로 선택하고 소수성을 테스트하여 확률이 높은 다항식 시간에 소수를 얻습니다. $T$ $T+ T^{5/8}$ $\theta(T^{5/8}/\log T)$

이제 축소를 시도해 봅시다. 가 모두 비트 라고 가정 해 봅시다 . 우리 가 길이 비트의 를 취하면 , 우리는 비트의 정밀도를 갖는 근처 에서 소수 찾을 수 있습니다 . 따라서 우리는 정밀한 비트를 가진 가 되도록 를 선택할 수 있습니다 . 이것은 찾아서 를 정밀한 비트로 찾 도록합니다 . 이러한 소수의 하위 집합이 목표 값에 가까운 것에 곱하면 원래 하위 집합 합계 문제에 대한 해결책이 있습니다. 그래서 우리는 $t_i$ $B$ $T_i$ $3B$ $p_i$ $T_i$ $9/8B$ $T_i$ $\log T_i \propto t_i$ $9/8\, B$ $p_i \approx T_i$ $\log p_i \propto t_i$ $9/8\,B$ $N=\Pi_i p_i$ 이고 과 적절히 선택 하면 부분 집합 합계에서 무작위로 줄어 . $L$ $U$

— 피터 쇼어
소스

축소를 이해하지 못합니다. 부분 집합 합계 문제가 NP- 완전하게 되려면 숫자를 2 진수로 제공해야합니다. 로그가 부분 집합 합계 문제의 인스턴스에있는 숫자에 가까운 정수를 원하면 지수 적으로 많은 숫자가 필요합니다. 이것을 어떻게 극복합니까?

— Tsuyoshi Ito

@Peter : 수 이론의 가정을 Cramér의 추측 이라고하며 , 이며 은 n 번째 소수입니다. 참조 프라임 간격 도 참조하십시오.

p_{n + 1} - p_{n} = O (\log^{2} n)

$p_{n+1} - p_n = O(\log^2 n)$

p_{n}

$p_n$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ 피터 : 네, 가정이 버전에 대한 입증 된 충분히 큰. 이 최초의 결과 Hoheisel으로 도시하고 인해 최상의 결과 위키가 함으로써 작품 베이커 하만과 Pintz 와 , (그것은 확률 1 보유 이후) 및 .

T

$T$

α = 0.525

$\alpha = 0.525$

c_{1} = \infty

$c_1 = \infty$

c_{2} = 1

$c_2 = 1$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

이 문제가 발생했습니다. 나는 원래의 Kilian-Alon 증거가 무엇인지 모릅니다. 증거에 대한 나의 유일한 지식은 원래 증거의 세부 사항을 기억하지 못한 Noga와의 커뮤니케이션에서 얻은 것이며, 그가 재구성 한 증거는 정확히 이것입니다. 또한 몇 가지 강력한 이론적 가정 하에서 결정 론적 감소로 설명 될 수있다 (예를 들어 [x, x + polylog (x)] 형식의 간격에 소수가 있음).

— 보아스 바락

방금 Joe Kilian과 이야기했습니다. 그는 자신과 Alon이 발생했다는 증거는 무오류 랜덤 감소와 관련이 있다고 말했다. 그가 아는 한, 보아즈 바락이 이미 말했듯이, 당신이 몇 가지 이론을 가정하지 않으면 결정 론적 축소는 여전히 열려 있습니다.

— Timothy Chow

PCP 정리 (특히 ) 와 연결되어 있다고 생각합니다 . $NP = PCP[O(\log{n}), O(1)]$

Madhu의 논문 에서 발췌 :

... 검증자가 다항식 시간 계산을 수행 할 수 있다는 개념은 이론과 증명의 클래스를 상당히 풍부하게하고 이론을 증명하는 매우 사소한 방법을 제공하기 시작합니다. (하나 개의 즉각적인 결과는 우리가 정리 / 교정 / 주장 / 인수가 바이너리 시퀀스 있다고 가정 할 수 있고 우리가 이제부터 할 것입니다.) 예를 들어, 우리는 주장이 가정 (리만 가설을 말한다)을, 그리고 우리가 가지고 있다고 생각합니다 말한다 10,000 페이지 기사에 맞는 증명. 계산적 관점에 따르면 와이 경계 (10,000 페이지) 가 주어지면 3 개의 양의 정수 효율적으로 계산할 수 있다고합니다. 와 되도록 경우에만, 사실 사이 제수 갖는 및 . 정수 , 및 는 상당히 길지만 (백만 페이지를 쓰는 데 쓸 수는 있지만) 프린터가 이러한 모든 정수를 인쇄하는 데 걸리는 시간보다 훨씬 효율적으로 생산할 수 있습니다. 확실히 하루나 이틀입니다). (이 특정 예는Joe Kilian의 개인 커뮤니케이션으로 인한 결과를 기반으로합니다) ... $A$ $A$ $N, L, U$ $L \leq U \leq N$ $A$ $N$ $L$ $U$ $N$ $L$ $U$

... 내 복잡한 이론 기술을 훨씬 능가 :-)

— 마르 치오 데 비아시
소스

이것은이 문제가 NP-complete라는 또 다른 공식입니다.

— Marc Bury

@Marc은 ... 음 ... 나는 그것이 의미 있다고 생각 :

NP 완전 문제에서 다항식 감소하기 때문에 NP-완료SHORT 증거가... 존재

{⟨ L, U, N ⟩ | (\exists p \in {L, \dots, U}) [p | N]}

$\{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\}$

— MARZIO 드 BIASI

논문의 SHORT PROOFS 문제는 멈춤 정지 문제와 거의 동일합니다. SHORT PROOFS 문제로부터의 감소는 SAT의 NP- 완전성에 대한 전형적인 증거만큼이나 지저분 할 것이므로 킬리안에 의한이 요소 발견 문제의 NP- 완전성에 대한 증거가 SHORT PROOFS 문제가 직접 발생했습니다.

— 이토 쓰요시

이것은 비공식적이고 효율적인 결정 론적 축소 아이디어이며 불완전 할 수 있습니다.

Fractran 은 Turing-complete 프로그래밍 언어입니다. Fractran 프로그램의 경계를 적절히 정의 된 버전은 언어로 환원되어야 $\{\langle L, U, M \rangle \;|\; (\exists \text{ a positive integer } p \in \{L, \ldots, U\})[p | M]\}$

예를 들어, 경계 버전은 특정 단계 수 (분할) 내에서 Fractran 프로그램의 출력 시퀀스에서 정수 이 생성 되는지 여부를 묻습니다 (예 : ). $M$ $M=N_j * F_i$

— 모하마드 알-투르 키스 타니
소스