정점의 수를 세면 엄청나게 힘든가요?

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주어진 그래프 의 정점 커버 수를 세는 # P- 완전 문제를 고려하십시오 . $G = (V, E)$

이러한 문제의 경도가 일부 매개 변수에 따라 어떻게 다른지 보여주는 결과가 있는지 알고 싶습니다 (예 : $G$ ). $d = \frac{|E|}{|V|}$

제 생각에는 가 드문 드문하고 가 조밀 할 때 문제가 더 쉬워지고 가 "중간"에 있을 때는 힘들어 야한다는 것 입니다. 이것이 사실입니까? $G$ $G$ $G$

모든 정점 표지 또는 모든 최소 카디널리티 정점 표지를 계산 하시겠습니까? NP- 완전 문제를 해결하는 데 반드시 도움이되는 것은 아니기 때문에 첫 번째 문제가 더 쉬운 경우도 있습니다.

— 라이언 윌리엄스

라이언 안녕, 네, 모든 정점 커버를 계산하고 싶습니다. "NP 완료 문제를 해결하는 데 반드시 도움이되는 것은 아닙니다" 라고 말하는 이유는 무엇 입니까? # P- 완료이면 왜 NP- 완전 문제를 해결하는 데 도움이되지 않습니까?

— Giorgio Camerani

@Walter 주어진 2SAT 식을 만족 카운트 변수 할당 # P-완료하지만 2SAT는 P. 인

— 모하메드 알 Turkistany

@turkistany : 그래, 난 이미 ... 알고

— 조르지오 Camerani

@turkistany : ...하지만 그때? NP가 완료된 문제가 무엇이든, SAT로 변환 한 다음 SAT를 #SAT로 변환 한 다음 #SAT를 # Monotone-2SAT (정점 커버 계산과 정확히 동일)로 변환 할 수 있습니다. 그렇다면 정점 커버 수를 계산할 수있어 NP- 완전 문제를 해결할 수없는 이유는 무엇입니까?

— Giorgio Camerani

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주어진 그래프의 정점 커버 수를 계산하는 #VC 문제는 3- 정규 그래프의 경우 # P-hard로 남아있다. 예를 들어 [Greenhill, 2000].

#VC 문제가 많아야와 그래프의 # P-하드 남아 있음을 나타 내기 위해, $c\cdot n$ 가장자리 여기서 $n$ 정점의 수이고 $0<c<3/2$ , 충분히 큰 추가하여 3 일반 케이스 줄이기 독립적 인 세트 (선형 크기). 독립 세트를 추가하면 정점 커버 수는 동일하게 유지됩니다.

유사하게, #VC 문제가 적어도 $c\cdot n^2$ 엣지를 갖는 그래프에 대해 # P-hard로 남아 있음을 보여주기 위해 , 여기서 $n$ 은 꼭짓점의 수이고 $0<c<1/2$ 이므로 충분히 크게 추가하여 #VC에서 줄입니다. 도관 성분 (선형 크기). 그래프 에 크기 의 도수를 추가하면 정점 커버 수에 $p+1$ 이 곱해집니다 . $p$

Catherine S. Greenhill : 희소 그래프 및 자서전에서 채색 및 독립적 인 세트를 계산하는 복잡성 . 계산 복잡도 9 (1) : 52-72 (2000)

— 서지 가스 퍼
소스

따라서 공제 그래프는 #IS가 # P- 완료이기 때문에 3 차 그래프의 #VC가 # P- 완전하다는 것입니다.

— delete000

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Yaroslav의 답변에 따라 Luby와 Vigoda는 밀도 조건 (위츠의 결과보다 약한 최대 4도)에서 #IS에 대한 FPRAS를 최초로 표시 한 반면 Dyer, Frieze 및 Jerrum은 FPRAS가 없다는 것을 보여주었습니다. RP = NP가 아닌 한 그래프의 최대도가 25이면 #IS입니다.

참고 문헌 :

마틴 다이어, 앨런 프리즈, 마크 저럼 희소 그래프에서 독립 세트를 계산할 때. FOCS 1999.

마이클 루비와 에릭 비고 다 대략 4까지 세고 있습니다. STOC 1997.

Jerrum의 ETH 강의 노트 "계산, 샘플링 및 통합 : 알고리즘 및 복잡성"도 참조하십시오.

— RJK
소스

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arxiv.org/abs/1005.5584 - BTW 앨런 교활한 최대 정도 = 6 다항식 시간 inapproximability 입증

— 야로 Bulatov

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@ Yaroslav : 참조 주셔서 감사합니다. 좋은 독서처럼 보입니다!

— RJK

9

지수 시간 복잡도에 관해서 일반적인 경우와 일정한 최대 정도 인스턴스 동등 어렵다 :의 sparsification의 표제어 Impagliazzo, Paturi, 제인은 (2002)에 방송하는 것이 의 -variable 인스턴스 -sat은 인스턴스로 감소 될 수 -sat 시간 에 최대 절이있는 경우 . Husfeldt와 Wahlén과의 공동 작업 에서 관찰 된 바와 같이 , 희소 화 정리는 - Sat의 계수 버전 , 특히 계수 의 경우에도 작동합니다. $n$ $d$ $d$ $f(d,\epsilon)\cdot n$ $\exp(\epsilon n)$ $d$ $2$ -토 (독립 세트를 세고 정점 커버를 세는 것과 같습니다).

또한, 지수 시간 가설 이 실패 하지 않으면, 버텍스 그래프 에서 독립 세트의 카운트 는 시간 에서 수행 될 수 없다 . 이에 발표 아직 게시되지 않은 관찰입니다 이야기 Dagstuhl 세미나 기간 동안 전산 카운팅 . $n$ $\exp(o(n))$

— 홀거
소스

최종 설명과 관련하여 : ETH는 SAT를 하위 지수 시간으로 해결할 수 없음을 의미하며, 표준 감소로 인해 하위 지수 시간에서도 INDEPENDENT SET을 결정할 수 없음을 의미합니다. 그런 다음 ETH는 독립적 인 세트를 세는 것도 지수 미만의 시간으로 수행 할 수 없음을 의미합니다.

— András Salamon

1

\exp (o (n / \log^{3} n))

$\exp(o(n/\log^3 n))$

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집합은 독립된 집합 인 경우 정점 표지이므로이 문제는 독립 집합을 계산하는 것과 같습니다.

독립된 집합의 대수 계산은 경계가 제한된 경계 폭의 그래프에 대한 FPT입니다. 예를 들어, Courcelle의 "다변량 인터레이스 다항식 및 경계 clique-width의 그래프 계산"에서 독립 다항식의 일반화를 계산합니다. 독립 계수 다항식을 더하면 독립적 인 집합의 수가 제공됩니다.

최대 차수가 3 인 그래프는 무제한의 파쇄 폭을 가질 수 있습니다.

문제가 "상관 붕괴"를 나타내는 경우 독립 세트의 수치 계산이 다루기 쉽습니다. Dror Weitz ( STOC'06 )는 최대 정도의 그래프에서 가중 독립 세트를 계산하기위한 결정적 FPTAS를 제공합니다. $d$ 때 무게 $\lambda$ 이다

λ < \frac{(Δ - 1)^{Δ - 1}}{(Δ - 2)^{Δ}}

$\lambda<\frac{(\Delta-1)^{\Delta-1}}{(\Delta-2)^\Delta}$

_{(출처 : yaroslavvb.com )}

정규 (무가 중) 독립 세트 카운팅은 $\lambda=1$ 그의 알고리즘은 FPTAS에 최대 5 도의 그래프에서 많은 정점 커버를 제공합니다.

그의 알고리즘은 각 정점에 자기 회피 보행 트리를 구축하고이 트리를 깊이 자르는 것을 기반으로합니다. $d$ . 자기 회피 보행 나무의 가지 요인은 $\lambda$ 어떤 작은 깊이 $d$ 위의 수식은이 분기 계수를 상한까지 최대 그래프를 사용하여 도출됩니다.

— 야로슬라프 불라 토프
소스

VC 대신 IS로 작업 할 때의 문제점은 보완 그래프가 원하는 몇 가지 좋은 속성을 잃을 수 있다는 것입니다. 예를 들어, "최대 k의 경계도"는 "최소 nk의도를 가지고"가되고, 이제 인스턴스 크기에 따라 달라집니다. 이것은 관련이있을 수도 있고 아닐 수도 있습니다.

— András Salamon

@ András 가장자리 세트가 아니라 복잡한 정점 세트입니다.

— 타이슨 윌리엄스