다이아몬드 규범과 관련 상태의 거리 사이에 연결이 있습니까?

양자 정보 이론에서, 두 양자 채널 사이의 거리는 종종 다이아몬드 규범을 사용하여 측정됩니다. 트레이스 거리, 충실도 등과 같은 두 양자 상태 사이의 거리를 측정하는 방법은 여러 가지가 있습니다. Jamiołkowski 동 형사상 은 양자 채널과 양자 상태 사이의 이중성을 제공합니다.

다이아몬드 규범은 계산하기가 악명 높고 Jamiołkowski 이소 형은 양자 채널의 거리 측정과 양자 상태 사이의 상관 관계를 암시하는 것처럼 보일 수 있습니다. 그래서 내 질문은 이것입니다 : 다이아몬드 규범의 거리와 관련 상태 사이의 거리 사이에 알려진 관계가 있습니까?

quantum-computing it.information-theory quantum-information

— 조 피츠 시몬스
소스

"다이아몬드 규범이 계산하기 어려운 것으로 악명이 높다"는 것이 무슨 의미인지 잘 모르겠습니다. 양자 채널을 명시 적 행렬 (예 : 최자 미오 코프 스키 표현)로 지정하면 다이아몬드 규범의 제곱을 공식화 할 수 있습니다 반정의 프로그램으로서; John Watrous 의 강의 노트 20.4 절을 참조하십시오 . 그런 의미에서, 다이아몬드 규범은 효율적인 계산 수단을 가지고 있습니다.

— Ito Tsuyoshi

@ 츠요시 : 나는 암시 적 최적화를 언급하고있었습니다. 나는 계산적으로 열심히하는 것이 아니라 작업하기가 어색합니다.

— Joe Fitzsimons

이것들은 제쳐두고 아주 좋은 강의 노트입니다.

— Suresh Venkat

@Suresh @Tsuyoshi : 그렇습니다, 그들은 훌륭한 메모이지만, 나는 그들이이 특정 질문에 대답한다고 생각하지 않습니다.

— Joe Fitzsimons

@TsuyoshiIto : 어떤 이유로 QIP 슬라이드의 마지막 섹션은 20.3입니다. 더 완벽한 강의가 있습니까?

— Artem Oboturov

답변:

양자 채널 , 연관된 상태를 나타 내기 위해 를 쓰겠습니다 : $\Phi$ $J(\Phi)$ 여기서 우리는원하는 양의 정수과선택에 대해채널이(즉,복소수 행렬)을에매핑한다고 가정합니다. 행렬

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$ 때때로

의 Choi 행렬 또는 Choi-Jamiolkowski 표현이라고

Φ

$\Phi$ 하지만,이 용어는

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ 정규화가 생략되었습니다.

$\Phi_0$ $\Phi_1$ 여기서 는 에서 자체까지의 식별 채널을 나타내고, 은 추적 규범을 나타냅니다. supremum 온통 촬영 , 모든 밀도 매트릭스 로부터 선택

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

및 일부 랭크 1 밀도 매트릭스

선택에 대해 항상 최상이 달성된다.

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$

ρ

$\rho$

(위의 정의는 임의의 매핑에는 적용되지 않으며 완전히 양의 맵 및 의 경우에는 형식의 매핑에만 적용됩니다 . 일반 매핑의 경우 최상위가 1 인 모든 행렬에 대해 최상위가 적용됩니다. 밀도 매트릭스와는 대조적으로) $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

채널에 대한 추가 가정이 없으면 이러한 표준이 이러한 거친 범위를 제외하고 어떻게 관련되는지에 대해 너무 많이 말할 수 없습니다. 두 번째 불평등의 경우, 본질적으로 특정 선택정착합니다.

\frac{1}{엔} ” Φ_{0} - Φ_{1} ”_{◊} \leq ” 제이 (Φ_{0}) - 제이 (Φ_{1}) ”_{1} \leq ” Φ_{0} - Φ_{1} ”_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

모든

대해 최상위를 취하는 것보다는. 첫 번째 불평등은 입찰이 더 힘들지만 양자 정보에 관한 대학원 과정에 대한 합리적인 과제입니다. (이 시점에서 나는이 질문을 나의 양자 정보 이론 과정의 가을 제안에 전적으로 사용하기 때문에 귀하의 질문에 감사드립니다.)

ρ = \frac{1}{엔} \sum_{1 \leq 나는, 제이 \leq 엔} | 나는 ⟩ ⟨ 제이 | \otimes | 나는 ⟩ ⟨ 제이 |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$

채널을 완벽하게 구별 할 수 있다는 추가 가정 ( )에 따라 채널 및 의 적절한 선택에 대해 불평등을 달성 할 수 있습니다 . $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

— 존 왓트 로스
소스

고마워 존, 내 질문에 완벽하게 대답하고 많은 시간을 절약했습니다.

— Joe Fitzsimons

실제 및 이상적인 양자 프로세스 arXiv : quant-ph / 0408063 을 비교하기 위해 거리 측정 을 살펴볼 수도 있습니다. arXiv : quant-ph / 0408063 은 양자 채널과 그 관계에 대한 거리 측정의 개요를 제공합니다.

그들은 용어 사용 S 거리를 다이아몬드 거리에 대한 J 거리 채널에 관련된 Jamiołkowski 사업자의 추적 거리.

— 안토니오 발레리오 미 셀리-바론
소스

$\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

또한 이러한 사고 방식은 채널을 결정 론적으로 (예 : Pauli 채널) 텔레포트 할 수있는 경우 다이아몬드 규범은 Jamiolkowski 추적 거리와 같습니다.

— 알렉스 몬 라스
소스