색수를 계산하기위한 다항식 시간 알고리즘이있는 그래프 패밀리

8 월 31 일에 업데이트 된 게시물 : 원래 질문 아래에 현재 답변에 대한 요약을 추가했습니다. 모든 흥미로운 답변에 감사드립니다! 물론 모든 사람이 새로운 결과를 계속 게시 할 수 있습니다.

어느 그래프 패밀리에 대해 색수 를 계산하기위한 다항식 시간 알고리즘이 존재 합니까?$\chi(G)$

경우 다항식 시간으로 문제를 해결할 수 있습니다 (이분 그래프). 일반적으로 χ ( G ) ≥ 3 인 경우 색수를 계산하는 것은 NP-hard이지만, 그렇지 않은 많은 그래프 패밀리가 있습니다. 예를 들어, 채색주기와 완벽한 그래프는 다항식 시간으로 수행 할 수 있습니다.$\chi(G) = 2$$\chi(G) \ge 3$

또한 많은 그래프 클래스의 경우 해당 색채 다항식을 간단히 평가할 수 있습니다. Mathworld의 몇 가지 예 .

위의 대부분이 일반적인 지식이라고 생각합니다. 최소 그래프 색상을 다항식 시간에 해결할 수있는 다른 (사소하지 않은) 그래프 패밀리가 있는지 기꺼이 배울 것입니다.

특히, 정확하고 결정적인 알고리즘에 관심이 있지만 흥미로운 임의 알고리즘 또는 근사 알고리즘을 자유롭게 지적하십시오.

업데이트 (8 월 31 일) :

흥미로운 답변을 제출해 주셔서 감사합니다. 다음은 답변과 참고 자료에 대한 간략한 요약입니다.

완벽하고 거의 완벽한 그래프

• 기하 알고리즘 및 조합 최적화 (1988), 9 장 (그래프의 안정적인 집합). Martin Grotschel, Laszlo Lovasz, Alexander Schrijver.

  이 책의 9 장은 최소 가중 도당 문제를 통해 채색 문제를 해결하는 방법을 보여줍니다. 타원체 방법에 의존하기 때문에 이러한 알고리즘은 실제로 유용하지 않을 수 있습니다. 또한이 장에는 여러 종류의 완벽한 그래프에 대한 훌륭한 참조 목록이 있습니다.

• 조합 최적화 (2003), B 권, 섹션 VI Alexander Schrijver.

  이 책은 완벽한 그래프와 다항식 시간 채색에 관한 세 개의 장으로 구성되어 있습니다. 간단히 살펴 보았지만 기본 접근 방식은 이전 책과 동일하게 보입니다.

• b- 완벽한 그래프의 특성 분석 (2010). Chinh T. Hoàng, 프레데릭 매 프레이, 메리엠 메체 벡

제한된 나무 너비 또는 경사 폭이있는 그래프

• 고정 크릭 폭 (2001)을 갖는 그래프의 에지 지배적 인 세트 및 컬러링 . Daniel Kobler, Udi Rotics

  여기서 알고리즘은 매개 변수로 k- 표현식 (경계 폭이 제한된 그래프를 구성하기위한 대수식)을 필요로합니다. 일부 그래프의 경우이 표현식은 선형 시간으로 계산할 수 있습니다.

• Yaroslav는 경계 트리 폭 그래프에서 색상을 계산하는 방법에서 지적했습니다. 아래에서 그의 대답을보십시오.

$k$

• 정점 채색의 매개 변수화 된 복잡성 (2003). 라이젠 카이.

  $k$$k$

• 화음 그래프의 매개 변수화 된 색소 문제 (2006). 다니엘 막스.

  $k$$k$

특정 하위 그래프를 포함하지 않는 그래프

• 다항식 시간에서 P5-Free 그래프의 k- 색도 결정 (2010). Chính T. Hoàng, Marcin Kamínski, Vadim Lozin, Joe Sawada, Xiao Shu.

• 다항식 시간의 3 색 AT-free 그래프 (2010). Juraj Stacho.

채색 쿼드 트리

• 쿼드 트리를 채색하는 알고리즘 (1999). David Eppstein, Marshall W. Bern, Brad Hutchings.

당신이 관찰하는 것처럼, 모든 완벽한 그래프 는 다항식 시간으로 채색 될 수 있지만 그 증거는 직접적이고 조합적인 것이 아니라 선형 프로그래밍을위한 타원체 알고리즘 (Grötschel, Lovász 및 Schrijver의 책 참조)과 관련이 있다고 생각합니다. 완벽한 그래프의 서브 클래스이고 더 쉬운 색상 알고리즘을 갖는 많은 다른 클래스의 그래프가 있습니다. 예를 들어, 화음 그래프는 완벽한 제거 순서를 사용하여 탐욕스럽게 채색 될 수 있습니다.

채색이 존재할 때 모든 로컬로 연결된 그래프 (모든 정점이 연결된 이웃을 갖는 그래프)는 다항식 시간에 3 색으로 칠할 수 있습니다. 채색 삼각형을 삼각형으로 확장하면됩니다.

최대 3 도의 그래프는 다항식 시간으로 채색 할 수 있습니다. 이분법인지 여부를 쉽게 테스트 할 수 있으며 그렇지 않은 경우 3 색만 필요하거나 연결된 구성 요소로 K4가 있고 4 색 (브룩스 정리)이 필요합니다.

삼각형이없는 평면 그래프는 같은 이유로 다항식 시간으로 채색 할 수 있습니다. 최대 3 개의 색차 (Grötzsch의 정리)입니다.

b- 완벽한 그래프는 (완벽한 그래프와 달리) 유도 된 5 사이클을 허용하며 Hoàng, Maffray 및 Mechebbek, b- 완벽한 그래프의 특성 , arXiv : 1004.5306 , 2010에 의해 채색하기위한 다항식 시간 알고리즘을 갖는 것으로 나타났습니다 .

ISGCI 의 멋진 그래프 클래스 개요 는 진폭, 독립 세트 및 지배 만 다루는 것이 유감입니다. 색상에 대한 정보는 포함되어 있지 않습니다.

또한 (treewidth보다 일반적 임) 경계 도당 폭의 그래프를 들어 Kobler 및 Rotics .

$n^{f(k)}$

또한 clique-width는 계산하기 어렵지만 Oum과 Seymour의 근사 알고리즘은 "클리닉 폭과 분기 폭을 근사화"(지수 근사법)입니다.

$k$

경계 트리 폭 이있는 모든 그래프 계열 에는 색수를 계산하기위한 다항식 시간 알고리즘이 있습니다. Gamarnik 은 같은 그래프에 정의 된 특정 Markov Random Fields의 마진 계산 문제로 채색 계산 문제를 줄 입니다. 경계 트리 폭 그래프에서 MRF의 마진을 접합 트리 알고리즘으로 다항식 시간으로 계산할 수 있기 때문에 결과가 이어집니다 .

업데이트 8/26는 : 여기의 예 <-> marginals 감소 "색소의 #"의. 접합 색 알고리즘의 최대 플러스 버전으로 경계 트리 폭 그래프의 다항식 시간에서 찾을 수있는 적절한 색상으로 시작해야합니다. 이제 생각해 보니 ... 반음계 수를위한 채색의 숫자가 필요하지 않습니다. 단 하나의 적절한 채색입니다.

$P_5$$C_5$$P_5$

$2P_3$

다니엘 마르크스 (Daniel Marx)는 최대 k 개의 정점 삭제에 의해 코드화 될 수있는 그래프의 색수 문제의 복잡성에 관한 결과도 있습니다. 모든 고정 k에 대해이 문제는 다항식입니다 ( http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2005.10.008 ).

쿼드 트리 를 채색하는 알고리즘 .
베른, 엡스타인, 그리고 허치 스.
에 http : // arXiv : cs.CG/9907030 .
Algorithmica 32 (1) : 87-94, 2002.

우리는 쿼드 트리의 사각형을 채색하는 문제의 몇 가지 변형을 고려하여 두 개의 인접한 사각형이 똑같이 채색되지 않도록합니다. 가장자리 인접성이있는 3 색 균형 쿼드 트리, 가장자리 인접성이있는 4 색 불균형 쿼드 트리 및 모서리 인접성이있는 6 색 균형 또는 불균형 쿼드 트리에 대한 간단한 선형 시간 알고리즘을 제공합니다. 처음 두 알고리즘에서 사용되는 색상의 수는 최적입니다. 세 번째 알고리즘의 경우 5 가지 색상이 필요할 수 있습니다.