NP에 대한 완전한 문제의 결과는 coNP와 교차

NP \ cap coNP 에서 완전한 문제가 발생하면 어떤 결과가 발생 $NP\cap coNP$합니까?

이것은 (넓은) 열린 문제입니다. 우리는 거의 아무것도 모른다. 특히, 때문에의 trickiness의 증명 $NP \cap coNP$ - 완전한 문제를, 우리는 현재 존재 매우 다른 증거 기법보다 필요는 없다. 따라서 결과에 대한 논의에는 "강력하고 새로운 증명 기술을 갖는 것이 무엇을 의미 하는가?"

이 주제에 대한 비교적 최근의 논의를 위해, 2007 년 ACM Transactions on Algorithms ( PDF )에 David Johnson의 26 번째 NP-Completeness 열이 있습니다. $NP \cap coNP$ -complete problems '존재 여부 를 증명하는 질문에 대해 David가 말한 내용 중 일부를 말로 표현 하고 내 생각을 추가 할 수 있습니다.

현재, 우리는 "약한" 멤버쉽을위한 후보자만을 가지고 있습니다. 그들의 멤버쉽에 대한 가장 강력한 증거 는 아직 다항식 시간 알고리즘을 찾지 못했다는 것입니다. 그는 작은 후보자, 간단한 확률 적 게임 및 MEAN PAYOFF 게임과 같은 후보를 나열합니다. 이러한 문제의 추가 "이상성"중 일부는 문제를 해결하기위한 최상의 휴리스틱 실행 시간에서 비롯됩니다. 예를 들어, INTEGER FACTOR 와 같은 SMALL FACTOR 는 임의의 시간 복잡도 . ( 에 완전한 문제가 존재하는 경우 , 하위 지수는 (순수 지수도 아니고 다항식도 아님)$NP \cap coNP - P$≤ k p o l y ( n ) 2 √$\le k$$poly(n) 2^{\sqrt{k log(k)}}$$NP \cap coNP - P$클래스의 런타임 고유성? )

구체적으로, 우리는 다음과 같은 것을 증명하고 싶을 것입니다 : 문제 A는 iff 에만 있습니다 . 즉, 3SAT와 대한 Cook의 정리와 같은 완전성 결과 입니다. 들어 , 그러한 증거는 보편적으로 다항식 시간 감소를 포함 (좋아, 추가 제한, 예를 들어 주방 감소, 카프-감소를 해결). 결과적으로, 다항식 시간 감소 기술 하에서, 클래스의 다항식 시간 인식 가능 표현이 존재해야한다. 들어 , 우리는 비 결정적 튜링 기계를 사용할 수 다항식, 내 중단$P$$NP \cap coNP = P$$NP$$NP$$NP$$p(|x|)$, 단계 수. David가 지적했듯이 및 # 와 같은 다른 클래스 (상태가 더 명확한)에 대해서도 비슷한 표현이 있습니다 .$PSPACE$P$P$

위한 유사한 표현으로 제공하지만 어려움, 은 "천연"유사체이다 있게 표현 내에 삽입 중단 문제에 도움이되므로 인 결정 불가능 . 즉, 보완 언어를 인식하는 두 가지 비 결정적 튜링 머신으로 를 나타내는 다음 시도를 고려하십시오 .$NP \cap coNP$N P ∩ c o N P$NP \cap coNP$

질문 : 튜링 머신 이 입력 정지 합니까?$M^*$$x \in {0,1}^n$

다음과 같이 두 개의 선형 시간 튜링 기계 및 를 구성하십시오. 입력 에서 은 입력을 읽고 항상 승인합니다. 아니면 항상 거부합니다. 및 받아 단계를.$M_1$$M_2$$y$$M_1$$M_2$$|y| \ge |x|$$M^*$$x$$\le |y|$

따라서 및 는 입력 에서 가 중지되지 않는 경우 보완 언어를 허용 합니다. 따라서 모순적으로 두 개의 다항식 튜링 기계가 보완 언어를 허용하는지 결정하는 것은 결정 불가능합니다.$M_1$$M_2$M ※ x $M^*$$x$

따라서 문제 의 "자연적인"표현은 다항식 시간을 인식 할 수 없습니다. 문제는 여전히 남아 있습니다. 어떻게 다항식 시간을 인식 할 수 있도록 문제를 어떻게 표현 합니까?$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$

이 문제에 대한 중요한 작업은 에서 완전성을 증명하려면 성공적인 해결이 필요합니다 . 따라서, 나는의 완전성 해결 할 수있는 증거 기술의 존재를 주장 여기에 더 큰 이야기가 될 것입니다 -하지의 "자동"결과 아마 - 완전한 문제 (예를 들면 복잡성 클래스, 우리가 이미 알고있는 (또는 미래에 가설 적 으로 알고있을 것 입니다.)$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$$NP \cap coNP$