FPT 문제의 경도

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정점 표지는 독립 세트로 쉽게 줄일 수 있으며 그 반대도 마찬가지입니다.

그러나 매개 변수화 된 복잡성의 맥락에서 독립 세트는 정점 표지보다 어렵습니다. 정점 커버에 정점이 있는 커널 이 존재하지만 독립 세트는 W 1 하드입니다. $2k$

FPT의 맥락에서 독립 집합의 본질은 어떻게 변하는가?

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— 니힐
소스

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답의 주요 아이디어 : parameterized Independent Set의 인스턴스를 parameterized Vertex Cover로 줄이면 그래프의 크기에 따라 달라지며 입력 매개 변수에만 의존하지 않습니다. 이제 좀 더 자세히 설명하겠습니다.

아시다시피, 매개 변수화 된 문제 는 시간 ( 대한 입력 이 에 포함 되는지 여부를 결정하는 알고리즘이있는 경우 (균일 한) FPT 에 있습니다. 일부 기능 . $Q$ $(x,k)$ $Q$ $f(k) |x|^{O(1)}$ $f$

그래프 에 크기가 꼭지점이 있는지 여부를 결정할 수 있으므로 $G$ 모서리를 선택하고 두 끝점 중 어느 꼭지점을 정점 표지에 넣을때문에이 가지는 깊게 나옵니다 (그렇지 않으면 보다 더 많이 넣었습니다)덮개의 꼭짓점), 시간 에서 쉽게 실행됩니다. 따라서 -Vertex Cover는 FPT에 있습니다. $k$ $k$ $k$ $O(2^k n^2)$ $k$

이제이 알고리즘을 사용하여 매개 변수화 된 독립 세트가 FPT에 있음을 보여 주려고합니다. 우리는 개의 꼭짓점 에 그래프 가 주어졌고 그것이 독립적 인 크기 가지고 있는지를 결정하고 싶다고 가정하자 . 이것은 크기의 꼭짓점 커버가 있는지 묻는 것과 같습니다 . 따라서 위의 알고리즘을 사용하여 시간으로 답을 계산합니다 . FPT 알고리즘의 경우, 실행 시간의 지수 함수는 매개 변수 ( )에 따라 달라질 수 있지만 입력 크기 ( 에는 의존하지 않을 수 있습니다. $G$ $n$ $\ell$ $G$ $n - \ell$ $O(2^{n - \ell} n^2)$ $\ell$ $n$ ; 그러나 우리가 스케치 한 접근법은 시간 지수를 사용 하므로 매개 변수 대한 FPT 매개 변수가 아닙니다 . 이것이 Vertex Cover가 FPT에 있다는 사실이 Independent Set이 FPT에 있다는 것을 의미하지는 않습니다. $n - \ell$ $\ell$

— 바트 얀센
소스

모든 답장을 보내 주셔서 감사합니다. 매개 변수화 된 복잡성의 맥락에서 Vertex Cover에서 추론하여 Independent set의 경도를 연구하려고 할 때 아이디어를 이해합니다. 그러나 정점 표지의 맥락과 무관하게 Independent Set을 보는 설명을 찾지 못했습니까? 더 어렵게 만드는 독립 세트를 찾는 구조 (또는 고유 특성)에 무언가가 있습니까?

— Nikhil

Bart, 축소가 원하는대로 작동하는 매개 변수

가 없는 이유는 무엇입니까?

k

$k$

— Raphael

@Raphael : 질문을 명확히 할 수 있습니까? 에만 영업의 질문에서 "허용"매개 변수는 각각의 솔루션 크기입니다. 우리가 임의의 매개 변수를 허용하면 축소가 원하는대로 작동하는 많은 것들이 있습니다 (이 문구를 올바르게 이해하면) : 예를 들어, 두 문제 모두에 대해 매개 변수를 "최소 크기 정점 표지의 크기"로 유지하면 , 둘 다 FPT입니다. Bart의 인수에 의한 MinVC 및 동일한 인수에 의한 OPIn 축소를 사용하는 MaxIndSet. 우리의 MaxIndSet 있었던 파라미터가 주장 될 때만이다 는 문제가 W [1]가되도록 용액 -hard 크기.

— gphilip

당신은 내 질문을 완벽하게 이해했습니다! 그런 의미에서 OP의 문제는 부적절하다. (비모수의) 문제와 매개 변수 쌍에 대한 모수화 된 복잡성에 대해서만 이야기하는 것이 합리적이다. 나는 정신적으로 "전망"으로 격차를 메웠다. 이는 "모든

"의 의미 에서 Bart의 답변을 읽었으며 그것이 잘못되었거나 불완전하다고 생각 했다는 것을 의미한다 . 따라서 내 질문. 그런데 다른 답변도 같은 문제가 있습니다. 분명히 나 이외의 모든 사람은 정식 선택으로 격차를 채 웁니다.

k

$k$

— Raphael

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나는 문제의 '자연'이 무엇을 의미하든 변한다고 말하지 않을 것이다. 모든 변경 사항은 매개 변수, 즉 문제의 어려움을 측정하는 방법입니다.

최대 의 정점 커버를 갖는 그래프 는 매우 효율적으로 크기를 줄일 수 있도록 구조화되어 있습니다. 우리는 최대 의 크기를 최대한 일치시킬 수 있으며 나머지 그래프는 적어도 독립적 인 크기의 세트입니다. . 환원을 사용하여 크라운 감소와 같은 규칙 꼭지점의 수는 최대로 줄일 수 . $k$ $k$ $n-2k$ $2k$

다른 한편으로, 최대 크기의 정점 커버를 갖는 그래프 (또는 그와 마찬가지로 최대 독립자는 최소 크기를 )는 그러한 간단한 구조를 갖지 않는 것 같습니다. 이것은 당신이 지적한대로 정확하게 만들 수 있습니다 : 그들의 구조는 우리가 문제 를 인코딩 할 수있게합니다 . $n-k$ $k$ $W[1]$

— 홀거
소스

4

다음은 차이점에 대한 직관을 제공 할 수 있습니다. 버텍스 S의 서브 세트는 VS가 독립 세트 인 경우에만 G = (V, E)의 버텍스 커버입니다. 따라서 MVC가 최소 버텍스 커버의 크기이면 MIS = | V | -MVC는 최대 독립 세트 X에 의해 파라미터 화 된 FPT 알고리즘은 X의 함수로서 지수 런타임을 허용한다. 에지 확률이 1/2 인 n 개의 정점에 대한 랜덤 그래프는 크기가 약 2logn 인 높은 MIS를 갖고 크기가 약 n-2logn 인 MVC를 갖는다. 따라서 최소한 이러한 그래프의 경우 MVC에 의해 매개 변수화 된 FPT 알고리즘은 단순히 MIS에 의해 매개 변수화 된 것보다 훨씬 많은 시간을 허용합니다.

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다른 사람들의 말에 동의하지만, 이런 것들에 대해 생각할 때 도움이되는 또 다른 방법은 문제를 인식 문제로 다시 변환하는 것입니다. / "입력 그래프가 적어도 k 이상의 독립적으로 설정된 그래프 군에 속합니까?"

$O(k^2+2^k\log n)$ $O(n^2)$ $k^2$

나에게 이것은 작은 독립 세트보다 작은 정점 표지를 인식하는 것이 더 쉬운 것으로 예상되는 직관적 인 설명 중 하나입니다. 물론 위의 생각은 공식적인 주장에 가깝지 않다는 것이 분명해야하며 하루가 끝날 때 독립 크기 k를 인식하기가 더 어렵다는 가장 설득력있는 증거는 정확히 독립의 W 경도라고 생각합니다. 세트!

— 마이클 람 피스
소스

k^{2}

$k^2$

k

$k$

(\binom{k}{2}) + k \cdot (n - k - 1)

$\binom{k}{2} + k \cdot (n - k - 1)$

k

$k$

n

$n$

k

$k$ $k$

k \cdot (k - 1) \leq k^{2}

$k \cdot (k-1) \leq k^2$

k

$k$

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이것은 매우 간접적 인 답변이므로 귀하의 우려를 해결하지 못할 수 있습니다. 그러나 FPT와 W 계층은 근사 성과 밀접하게 연결되어 있습니다 (FPT 문제에는 종종 PTAS 등이 있음). 이러한 맥락에서 모든 그래프에 대해 VC = n-MIS이므로 VC에 대한 근사는 MIS에 대한 근사를 제공하지 않습니다. 근사치에 대해 L- 감소가 필요한 이유입니다. 매개 변수화 된 복잡성에 대해서도 동등한 "커널 유지 감소"개념이 있다고 생각합니다.

— 수레 쉬 벤 카트
소스

FPT에 "커널 보존 감소"개념이 있습니까?

— Nikhil

나는 모른다 : 따라서 따옴표 :). 나는의 차임에 매개 변수화 복잡성 전문가 기다리고 있어요.

— 수레 쉬 벤 카트를

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방금 소환했습니다! ;)

— Raphael

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P \leq_{p t p} Q

$P \leq _{ptp} Q$

(x, k)

$(x,k)$

P

$P$

(x^{'}, k^{'})

$(x', k')$

Q

$Q$

k^{'} \in k^{O (1)}

$k' \in k^{O(1)}$

P \leq_{p t p} Q

$P \leq_{ptp} Q$

Q

$Q$

P

$P$

Q

$Q$

P

$P$

O (2^{1 / ϵ} n^{k})

$O(2^{1/\epsilon}n^k)$

O (n^{1 / ϵ})

$O(n^{1/\epsilon})$