다항식 예상 시간 솔루션에 NP- 완전 문제가 있습니까?

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알고리즘이 예상 실행 시간이 다항식이라는 것으로 알려진 NP- 완전 문제가 있습니까 (인스턴스에 대한 합리적인 분포의 경우)?

그렇지 않다면, 그러한 알고리즘의 존재가 확립 된 문제점이 있습니까?

아니면 그러한 알고리즘의 존재가 결정적 다항식 시간 알고리즘의 존재를 의미합니까?

cc.complexity-theory np-hardness

— 스티브 크룬
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질문이 무엇인지 잘 모르겠습니다. NP-hard 문제에 대한 평균 사례 결과를 요구하고 있습니까 아니면 예상되는 다항식 시간에 최악의 경우 NP-hard 문제를 해결할 수 있는지 묻고 있습니까?

— Moritz

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"예상 달리기 시간"이란 무엇입니까? 입력의 임의의 임의 분포 (대부분의 대답이 생각하는 것처럼) 또는 알고리즘에 의해 사용되는 임의의 비트 분포 (임의의 알고리즘에 대한 일반적인 의미) 또는 둘 다에 대한 기대를 취하고 있습니까?

— Jeffε

@Moritz : NP-hard 문제에 대한 평균 사례 결과를 묻습니다. 예상되는 다항식 시간에 최악의 경우 NP-hard 문제를 해결하는 것이 나에게 더 강력한 결과처럼 보이므로 그러한 결과에도 관심이 있습니다. @JeffE 인스턴스에 대한 예상 배포 시간에 대해 이야기하고 있습니다. 알고리즘이 랜덤 화되면 랜덤 비트에 대한 기대도 취합니다. 그러나 내 질문은 주로 무작위 알고리즘에 관한 것이 아닙니다.

— Steve Kroon

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간단한 패딩 기술을 사용하면 어떤 문제에서도이를 구성 할 수 있습니다.

이 완전한 언어 라고 가정 하면 시간 이 필요합니다 . 그런 다음 를 로 지정합니다. 그러면 는 다음과 같이 해결됩니다. 선형 시간 알고리즘은 입력 문자열이 문자 짝수되는 첫 이다 . 그렇지 않으면 거부합니다. 그렇지 않으면 합니다. 경우 임의로 그려, 예상 시간을 해결하기 위해 있다 $L$ $NP$ $O(2^{n})$ $K$

K = {1^{n} x | ‖ x ‖ = n and x \in L}

$K=\{1^nx\ |\ \|x\|=n \text{ and }x\in L\}$

K

$K$

n

$n$

1^{n}

$1^n$

x \overset{?}{\in} L

$x\overset{?}{\in}L$

y \in_{R} {0, 1}^{2 n}

$y\in_R \{0,1\}^{2n}$

y \overset{?}{\in} K

$y\overset{?}{\in}K$

\frac{1}{2^{2 n}} (2^{n} \cdot 2^{n} + (2^{2 n} - 2^{n}) O (n)) = 1 + (1 - \frac{1}{2^{n}}) O (n) \in O (n) .

$\frac{1}{2^{2n}}\big(2^n\cdot 2^n+(2^{2n}-2^n)O(n)\big) = 1+(1-\frac{1}{2^n})O(n)\in O(n).$

$K$ 는 완료입니다. 로부터의 축소 는 : $NP$ $L$

x \in {0, 1}^{n} \mapsto 1^{n} x

$x\in \{0,1\}^n \mapsto 1^nx$

— 리 우웨 빈 카이젠
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랜덤 그래프에서 해밀턴 사이클을 찾기위한 다항식 시간 알고리즘이 있으며, 이는 해밀턴 사이클이 존재하는 것과 같은 확률로 무증상으로 성공합니다. 물론이 문제는 최악의 경우 NP-hard입니다.

또한 입력 분포가 모든 정점 그래프 세트에 대해 균일하게 랜덤 한 경우 해밀턴 사이클 (있는 경우)을 찾도록 항상 보장되는 동적 프로그래밍 알고리즘 (있는 경우)은 다항식 예상 실행 시간을 갖습니다 . $n$

참조 : "임의의 그래프에서 해밀턴 사이클을 찾기위한 알고리즘"

볼 로바, 페너, 프리즈

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=22145.22193

— 아론 로스
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좋은 평균 사례 알고리즘의 존재가 최악의 경우 좋은 알고리즘의 존재를 암시하는지에 대한 마지막 질문과 관련하여, 이것은 암호 해독가에게 특히 중요한 주요 공개 질문입니다. 암호화에는 평균적으로 어려운 문제가 필요하지만 암호 전문가는 가능한 최소 가정을 기반으로 구성을 원하므로 평균 케이스 경도가 최악의 경도와 같은 문제를 찾는 것이 큰 관심이됩니다.

몇몇 격자 문제는 최악의 경우에서 평균적인 경우까지 감소하는 것으로 알려져있다. 예를 들어 Ajtai 의 격자 문제의 하드 인스턴스 생성 및 Micciancio의 설문 조사 기사를 참조하십시오 .

— 이안
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기본적으로 변수 에 대한 최대 2-CSP 및 임의로 선택된 제약 조건은 예상 선형 시간에 해결 될 수 있습니다 (결과의 정확한 공식은 아래 참조 참조). 인스턴스의 제약 조건 그래프가 최대 3 이하이고 더미 변수를 추가하여 평균을 낮추면 절의 개수가 변수 수와 같을 때 최대 2-CSP는 NP-hard로 유지됩니다. 2도 $n$ $n$

참고:

Alexander D. Scott과 Gregory B. Sorkin. 선형 예상 시간에 Max Cut 및 Max 2-CSP의 드문 임의 인스턴스를 해결합니다. 빗. 프로 밥. 자동 생산, 15 (1-2) :. 281-315, 2006 년 프리 프레스

— 서지 가스 퍼
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귀하의 진술이 논문의 주장과 어떻게 일치하는지 모르겠습니다. 기본 그래프가 일부 고정 c에 대한 G (n, c / n) 모델의 임의 그래프 인 경우 Max 2-CSP를 해결하는 방법에 대해 설명합니다. 즉, 각 모서리가 확률 c와 독립적으로 발생하는 n 꼭지점의 그래프임을 의미합니다. / n, 따라서 인스턴스에 모서리 (제약) 가있을 것으로 예상 합니다. 그러나 n 개의 정점과 n 개의 모서리가있는 단단한 인스턴스를 얻기 위해 NP 경도 감소를 수행하면 인스턴스 분포가 모델을 따르지 않으므로 종이가 NP 하드를 해결한다고 말할 수는 없습니다. 문제.

Θ (n)

$\Theta(n)$

G (n, c / n)

$G(n,c/n)$

— Bart Jansen

@Bart : 질문을 오해했을 수도 있습니다. 선형 수의 절을 가진 Max 2-CSP는 NP-hard이지만 임의의 인스턴스에 대해이 문제를 해결하는 선형 시간이 예상되는 알고리즘이 있다고 주장합니다.

— Serge Gaspers

기본적으로, 내가 당신의 주장을 올바르게 이해한다면, 기본 그래프에 분포 G (n, c / n)가 장착 된 Max 2-CSP를 예상 선형 시간으로 해결할 수 있다고 말하는 것입니다. 나는 배포가 나에게 완전히 "합리적"이거나 "자연스럽지"않다는 점에서 Bart에 동의하지만, 그것이 내 질문에 적절하게 대답한다고 생각합니다.

— Steve Kroon

@Steve : 동의합니다.

— Serge Gaspers

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이것은 귀하의 질문에 완전히 대답하지는 않지만 3-SAT의 임의 사례에 대한 결과를 조사하려면 다음을 참조하십시오. www.math.cmu.edu/~adf/research/rand-sat-algs.pdf

일반적으로 "현명한 배포"가 실제로 무엇을 의미하는지 정의하는 것은 어렵습니다. 이 링크를 따라 Bogdanov와 Trevisan의 "평균 시간 복잡도"설문 조사에서 이에 대한 자세한 내용을 볼 수 있습니다 : http://arxiv.org/abs/cs/0606037 .

— Grigory Yaroslavtsev
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링크 주셔서 감사합니다. 불행히도 3-SAT 논문의 "높은 확률로"결과는 내 질문을 확인하기에 충분히 강하지 않다. 나는 "민감한 분포"가 털이 될 수 있다는 데 동의합니다. "유효한 인스턴스 공간"으로 문제가 단순히 P로 알려진 문제로 줄어들지 않도록 배포가 명확하게 선택되지 않은 경우이 방법을 선호합니다.

— Steve Kroon

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Amin Coja-Oghlan 및 Anusch Taraz의 "예상 된 다항식 시간에 임의 그래프 추출"

다항식 예상 시간에 랜덤 그래프 를 채색하는 문제를 조사합니다 . 의 경우 , 선형 예상 시간에서 최적의 색상을 찾는 알고리즘을 제시합니다. p의 값이 충분히 크면 의 인수 내에서 색수를 근사하는 알고리즘을 제공합니다 . $G \in G(n, p)$ $p < 1.01/n$ $O(√np)$

http://www.springerlink.com/content/87c17d4dacbrc0ma/

— 조엘 리 비키
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