이 유한 언어를 설명하는 다항식 크기 ​​CFG가 있습니까?

순열이 있습니까 $\pi_1,\pi_2$ 다항식 크기 $|w|=n$유한 언어를 설명하는 문맥 자유 문법 $\{w \pi_1(w) \pi_2(w)\}$ 알파벳 이상 $\{0,1\}$?

업데이트 : 한 순열 $\pi$ 것이 가능하다. $\pi$ 반전의 반전 또는 비교적 작은 수정입니다.

촘스키 일반 형태

CFG는 유일한 프로덕션 형식 인 경우 CNF (Chomsky 일반 형식)입니다. $A \rightarrow a$ 과 $A \rightarrow BC$; 문법은 2 차 블로우 업만으로 CNF로 가져올 수 있습니다.

문법 $G$CNF에, 우리는 좋은 Subword 보조 정리가 : 만약$G$ 단어를 생성 $w$그런 다음 각각에 대해 $\ell \leq w$, 하위 단어가 있습니다 $x$ 의 $w$ 길이의 $\ell/2 \leq |x| < \ell$ 비 터미널에 의해 생성되는 $G$. 증명 : (바이너리) 구문 트리를 내립니다. 항상 더 긴 하위 단어를 생성하는 자식으로 이동합니다. 최소한 크기의 하위 단어로 시작한 경우$\ell$아래로 갈 수 없습니다 $\ell/2$.

해결책

일반성을 잃지 않으면 서 문법은 $L_n$ (특정 언어 $\pi_1,\pi_2 \in S_n$)은 Chomsky Normal Form입니다. 언어$L_n$ 단어로 구성 $w(x) = x\pi_1(x)\pi_2(x)$ 모든 $x \in \{0,1\}^n$.

각각에 대해 서브 워드 Lemma 사용 $w(x)$ 우리는 부분 문자열을 찾을 수 있습니다 $s(x)$ 길이의

한다고 가정 $p(x) = p(y)$ 과 $A(x) = A(y)$. 이후$|s(x)|<n$, 하위 단어 $s(x)$ 둘 다 교차 할 수 없습니다 $x$ 부분과 $\pi_2(x)$ 부분의 $w(x)$; 우리는 그것이 분리되어 있다고 가정 할 수있다$x$부품. 그러므로$w(x)$ 형태이다 $x \alpha s(x) \beta$. 이것은$A(x)$ 정확히 하나의 문자열, 즉 $s(x)$. 따라서$s(x) = s(y)$.

지금 $s(y)$ 둘 중 하나와 교차 $\pi_1(y)$ 또는 $\pi_2(y)$ 적어도 $n/4$ 장소를 결정하고 최소한 결정 $n/4$ 조금 $y$. 따라서 기껏해야$2^{3n/4}$ 줄 $y \in \{0,1\}^n$ 가질 수있다 $p(x) = p(y)$ 과 $A(x) = A(y)$. 최대가 있기 때문에$3n$ 가능성 $p(y)$우리는 적어도

의견 : 다음과 같은 증거가 작동하는 경우 $\pi_1,\pi_2 \in S_{\{0,1\}^n}$즉, 모든 집합에 대한 임의의 순열입니다. $n$비트 단어. 주어진$n/4$ 조금 $\pi_i(y)$, 정확히있다 $2^{3n/4}$ 사전 이미지 $y$.

더 많은 예

동일한 방법을 사용하면 각 문자가 정확히 두 번 나타나는 언어에 알파벳 크기의 지수 크기 CFG가 필요하다는 것을 증명할 수 있습니다. "두 번"을 하위 집합으로 대체 할 수 있습니다$\mathbb{N}$ 사소한 것 이외의 것 (무시) $0$을 포함하지 않는 $\mathbb{N}_{\geq 1}$ 또는 전부).

이 증명 방법에 대한 참조를 부탁드립니다.