treewidth 개념의 기원

오늘의 나의 질문은 (평소와 같이) 약간 바보입니다. 하지만 친절히 생각해 보라고 부탁합니다.

treewidth 개념의 기원과 동기에 대해 알고 싶었습니다. 나는 그것이 FPT 알고리즘에서 사용된다는 것을 이해하지만, 이것이 이것이이 개념이 정의 된 이유라고 생각하지 않습니다.

나는 로빈 토마스 교수 의 수업에서이 주제에 대한 서기관 노트 를 작성했습니다 . 나는이 개념의 응용 프로그램 중 일부를 이해한다고 생각합니다 (트리의 분리 속성을 분해 된 그래프로 옮김). 그러나 어떤 이유로이 개념이 개발 된 이유는 그래프의 근접성을 측정하는 것이라고 확신하지 못합니다 나무에.

나는 더 명확하게 노력할 것입니다 (가능한지 확실하지 않습니다. 질문이 명확하지 않은 경우 알려주십시오). 이 개념이 "빌려온"것으로 추정되는 다른 수학 분야의 다른 곳에도 비슷한 개념이 존재하는지 알고 싶습니다. 내 추측은 토폴로지가 될 것입니다.하지만 배경이 부족하여 아무 말도 할 수 없습니다.

왜 내가 이것에 대해 궁금한가에 대한 주된 이유는-정의를 처음 읽었을 때, 왜 그것을 어떻게 그리고 어떻게 생각할 것인지 확실하지 않았습니다. 질문이 여전히 명확하지 않다면 나는 마침내 이런 식으로 진술하려고 노력할 것입니다-treewidth의 개념이 존재하지 않았다고 가정합시다. 불연속 설정에 대한 자연스런 질문 (또는 일부 수학 이론 / 개념의 확장)은 나무 폭으로 정의 (생각하는 단어를 사용하도록 함)를 생각하게 할 것입니다.

Neil Robertson과 저를 나무 너비로 이끈 이유를 알고 싶다면 전혀 알고리즘이 아니 었습니다. 우리는 무한한 그래프 세트에서 그 중 하나가 다른 것의 부차적이며 우리가 처음에 옳았다는 Wagner의 추측을 해결하려고 노력했습니다. k-vertex 경로가없는 그래프로 제한한다면 이것이 사실이라는 것을 알았습니다. 이유를 설명하겠습니다. 우리는 그러한 모든 그래프가 간단한 구조를 가졌다는 것을 알았습니다 (보다 정확하게는 k-vertex 경로가없는 모든 그래프에는이 구조가 있고이 구조를 가진 모든 그래프에는 2 ^ k-vertex 경로가 없습니다). 우리는이 구조를 가진 모든 무한한 그래프 집합에서 그 중 하나가 다른 것의 부차적이라는 것을 알고있었습니다. 따라서 Wagner의 추측은 최대 경로 길이에 바인딩 된 그래프에 해당됩니다.

k-star가 마이너가 아닌 그래프에 대해서도 마찬가지라는 것을 알았습니다. 다시 그래프에 대한 구조 정리가 있기 때문입니다. 우리는 Wagner의 추측을 증명하기 위해 사용할 수있는 구조적 이론을 가진보다 일반적인 미성년자를 찾으려고 노력했고, 그로 인해 우리는 길 너비로 이끌었다. 모든 트리를 마이너로 제외하고 경로 너비를 제한하고 경로 너비를 제한하면 나무를 가질 수 없습니다. (이것은 우리에게는 어려운 이론이었다. 우리는 첫 번째 Graph Minors 논문에서 엄청나게 어려운 증거를 얻었고, 그것을 읽지 않으면 훨씬 쉽게 만들 수있다.) 고정 트리를 마이너로 포함하지 않은 그래프의 경우에도 마찬가지입니다. 앞서 언급 한 경로 및 스타 사례에 대한 큰 일반화.

어쨌든, 우리는 그와 함께 더 나아가려고 노력했습니다. 우리는 일반적인 그래프를 만들 수 없었기 때문에 평면 그래프에 대해 생각했습니다. 고정 된 평면 그래프를 마이너로 포함하지 않은 평면 그래프에 대한 구조 정리를 찾았습니다 (쉽습니다). 그것은 나무 너비로 제한되었습니다. 고정 평면 그래프의 경우, 작은 그래프로 포함하지 않은 모든 평면 그래프는 트리 너비에 제한이 있음을 증명했습니다. 당신이 상상할 수 있듯이, 그것은 정말로 흥미로웠다. 우연히도, 평면 그래프 (더 큰 평면 그래프 내)를 배제하기위한 구조 정리는 나무 (일반 그래프 내)를 배제하기위한 구조 정리를 자연스럽게 왜곡했습니다. 우리는 우리가 옳은 일을하고 있다고 느꼈습니다. 그리고 우리는이 구조 정리를 가지고 있기 때문에 모든 평면 그래프에 대한 Wagner의 추측을 증명할 수 있습니다.

트리 폭이 더 큰 평면 그래프 내에서 평면 그래프를 제외하는 데 효과적 이었으므로, 비평면 그래프 내에서 평면 그래프를 제외시키는 것이 효과가 있는지는 당연한 의문이었습니다. 모든 고정 평면 그래프에 대해 모든 그래프가 미성년자가 나무 너비를 제한 했습니까? 이것은 우리가 오랫동안 증명할 수 없었지만, 이것이 우리가 일반적인 그래프의 나무 너비에 대해 생각하는 방식입니다. 그리고 일단 우리가 tree-width의 개념을 가졌다면, 그것이 알고리즘에 좋다는 것이 분명했습니다. (그렇습니다. 우리는 Halin이 이미 나무 너비에 대해 생각했다는 것을 몰랐습니다.)

트리 너비 개념을 스스로 생각 해낼 수있는 방법은 다음과 같습니다.

다음 그래프에서 독립 세트 수를 계산한다고 가정합니다.

독립 노드는 최상위 노드가 점유 된 점과 점유되지 않은 점으로 분할 될 수 있습니다.

이제 최상위 노드의 점유 여부를 알면 각 하위 문제에서 독립적 인 세트 수를 개별적으로 세어 곱할 수 있습니다. 이 프로세스를 반복적으로 반복하면 그래프 구분 기호를 기반으로 독립 세트를 계산하는 알고리즘이 제공됩니다.

이제 더 이상 나무가 없다고 가정하십시오. 이는 구분 기호가 더 크지 만 동일한 아이디어를 사용할 수 있음을 의미합니다. 다음 그래프에서 독립 세트를 세는 것을 고려하십시오.

구분 기호의 문제를 하위 문제로 나누는 것과 동일한 아이디어를 사용하여 다음을 얻습니다.

이전 예에서와 같이, 합계의 각 항은 구분 기호에서 두 개의 작은 계산 작업으로 분해됩니다.

분리기의 모든 구성을 열거해야하기 때문에 이전 예제보다 더 많은 용어가 있습니다. 분리기의 크기 (이 경우 크기 2)에 따라 기하 급수적으로 증가 할 수 있습니다.

트리 분해는 이러한 재귀 분할 단계를 컴팩트하게 저장하기위한 데이터 구조입니다. 다음 그래프와 트리 분해를 고려하십시오.

이 분해를 사용하여 계산하려면 먼저 노드 3,6에서 값을 수정하여 두 가지 하위 문제로 나눕니다. 첫 번째 하위 문제에서는 노드 5를 추가로 수정하여 해당 부분을 두 개의 작은 하위 부분으로 나눕니다.

최적의 재귀 분해에서 가장 큰 분리기의 크기는 정확하게 나무 폭입니다. 더 큰 계산 문제의 경우 가장 큰 구분 기호의 크기가 런타임을 지배하므로이 양이 매우 중요합니다.

그래프가 나무에 얼마나 가까운 지 측정하는 나무 너비 측정의 개념에 대해 직관적으로 만드는 한 가지 방법은 화음 그래프와의 대응에서 나무 분해의 대체 파생을 보는 것입니다. 먼저 정점을 순서대로 순회하고 각 정점의 모든 "고차"이웃을 서로 연결하여 그래프를 삼각 분할합니다.

그런 다음 최대 절개를 취하고 교차점이 최대 구분 기호 인 경우 연결하여 나무 분해를 구성하십시오.

트리 분해를 구성하는 재귀 분리기 및 삼각 측량 기반 접근 방식은 동일합니다. 트리 너비 + 1은 그래프의 최적 삼각 측량에서 가장 큰 파벌의 크기이거나 그래프가 이미 삼각 측량 된 경우 가장 큰 파쇄의 크기입니다.

어떤 의미에서 treewidth tw의 화음 그래프는 단일 노드 대신 최대 tw + 1 크기의 겹치는 조각이있는 나무로 생각할 수 있습니다. 비-코드 그래프는 일부 경사면이없는 "클리크 트리"입니다.

다음은 화음 그래프와 트리 너비입니다.

나는 treewidth 자체가 이미 주어진 Robertson Seymour 논문으로 시작했다고 생각합니다. 그러나 일부 초기 전구체는 다음과 같습니다.

• Umberto Bertelé에서 동적 proogramming 알고리즘의 동작을 제어하는 ​​그래프의 "치수"개념; Brioschi, Francesco (1972), 비 직렬 동적 프로그래밍 .

• Parsons, TD (1976)의 그래프에서 추격 회피 게임의 개념. "그래프의 추격 회피". 그래프의 이론과 응용 . Springer-Verlag. 426–441 쪽. 이것의 한 가지 변형은 나중에 나무 폭과 동등한 것으로 나타났습니다 : Seymour, Paul D .; Thomas, Robin (1993), "그래프 탐색 및 트리 폭에 대한 최소-최대 정리", 조합 이론 저널, 시리즈 B 58 (1) : 22–33, doi : 10.1006 / jctb.1993.1027 .

• Ungar, Peter (1951), "평면 그래프에 대한 정리", London Mathematical Society 1 (4) : 256, doi : 10.1112 / jlms / s1-26.4.256 부터 시작하여 계속되는 평면 그래프의 구분자 계층 1979 ~ 1980 년에 Lipton과 Tarjan이 여러 논문을 발표했습니다. 이 유형의 계층 구조에서 가장 큰 구분 기호의 크기는 나무 너비와 밀접한 관련이 있습니다.

Robertson-Seymour 아이디어가 이미 떠 올랐을 때로 나아가서, 추구하는 회피와 분리 아이디어를 명시 적으로 연결하고 경로 너비와 동등한 너비 개념을 정의하는 Graph Minors II 이전의 논문도 있습니다 엘리스, JA; Sudborough, IH; Turner, JS (1983), "그래프 분리 및 검색 번호", Proc. 1983 년 Allerton Conf. 통신, 제어 및 컴퓨팅.

그래프 이론에 대한 그의 논문에서 Reinhard Diestel은 나무 폭과 나무 분해의 개념을 Halin 이 1976 년 논문으로 거슬러 올라갑니다 (이 이름을 사용하지는 않더라도). 그는 또한 평면 격자 그래프가 무한한 나무 폭을 가졌다는 결과를이 논문에 부여했습니다. 물론 로버트슨과 시모어의 논문은 "헤일 린의 작업을 알지 못했던 개념을 재발견했다"(나의 번역이 나쁘면 미안하다) 고 언급했다.

• 루돌프 할린 그래프에 대한 함수, J. Geometry 8 (1976) : 171–186$S$
• 라인 하르트 다이 스텔. Graphentheorie , 제 3 독일어 판, Notizen zu Kapitel 10. (일부 영어판은 온라인에서 무료로 다운로드 할 수 있습니다.)

Robertson과 Seymour 는 Tree Mind에 대한 개념 [1] (및 이와 유사한 개념 Branch-width )을 Graph Minors 에 대한 주요 논문에 소개했다 .

그래프 에 고정 평면 그래프 축소 가능한 하위 그래프가있는 경우 다항식 시간 알고리즘 테스트를 얻기 위해 처음에 트리 폭 을 도입했습니다 .$G$$H$

참조 : N. Robertson, PD Seymour. 미성년자 그래프. II. 나무 너비의 알고리즘 측면 . JCT 시리즈 B (1986)